北理工考博数值分析——试卷

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1、一、填空题：(共20分)1.非奇异矩阵的条件数为，条件数的大小反映了方程组的。2.的相对误差和的相对误差之间的关系是。3．给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式，说明如何获得及收敛理由。4.设为互异节点，为对应节点上的拉格朗日插值基函数，则,。5．设互异，则当时，；。6．数值积分公式的代数精确度是，____Gauss型求积公式。 二、（10分）设阶矩阵对称正定，用迭代公式求解。问实数取何值时迭代收敛？ 三、（13分）设有线性方程组，(1)将系数矩阵A分解为，求；(2)求解方程组。 四、（10分）用最小二乘法确定中的参数和，使该函数曲线拟合于下列形式的

2、数据（推导满足的正则方程组）。 五、（10分）求四次插值多项式，使其满足条件，并写出插值余项。 六、（10分）设，考虑方程，证明求解该方程的牛顿法产生的序列（其中）是收敛的；并求，使得。七、（15分）对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式及复化抛物线公式计算近似值时，所需节点数及步长分别为多少？计算满足精度要求的近似值。 八、（12分）试求系数，使3步公式的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差的主项。一、（12分）设有线性方程组，（1）   将系数矩阵A分解为L和U的乘积，其中L是单位下三角阵，U是上三角阵；（2）   解线性方程组。二、（18分）

3、（1）已知数据：  试分别用线性及二次插值计算的近似值，并估计误差。（2）设，试求三次插值多项式使得,并对任一写出误差估计式。三、（20分）（1）   设线性方程组的系数矩阵试写出收敛的迭代计算公式；（2）   若线性方程组的系数矩阵，用表示迭代法和迭代法收敛的充分必要条件。四、（15分）（1）   若用复化梯形、复化辛普森公式计算积分的近似值，要求计算结果有5位有效数字，分别应取多大？（2）   选一复化求积公式计算积分的近似值，要求截断误差小于。五、（10）确定，使求积公式的代数精确度尽可能高，并指出是否是型求积公式。六、（15分）试用法推导出求

4、近似值的迭代格式,并用导出的公式计算的近似值，要求误差不超过。七、（10分）已有求解常微分方程的二步公式：欲使此格式的整体截断误差达到最高阶，应取何值，并说明公式是几阶方法。一、填空题：(共15分，第7题2分，其余每空1分)1.   为了提高计算精度，当充分大时，应将改写为.2.   已知勒让德多项式系中的，则上关于权函数的两点高斯型求积公式为，用它计算（用分数表示）.3.   已知是以0，1，2为节点的三次样条函数，则.4．设，，则，，.(用根号表示)5．曲线和曲线在附近有一交点，写出求近似值的牛顿迭代公式,它的收敛阶为.6．给出一个求解对任意初值

5、都收敛的迭代公式，并说明理由.7．已知,试求满足插值条件且的五次多项式8．解初值问题显式方法的局部截断误差为.二、（15分）设有方程组分别写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性.三、（10分）有线性方程组,其中(1)对进行分解;(2)求解方程组;(3)求.四、（10分）求在上形如的最佳平方逼近多项式.五、（10分）已知连续函数的函数表如下(1)用二次拉格朗日插值计算的近似值；(2)用牛顿三次插值求时，的近似值.六、（10分）设有迭代格式(1)确定的值,使上述迭代格式局部收敛到;(2)取何值时,上述迭代公式收敛阶最

6、高,最高阶是多少;(3)取初值，用(2)中确定的公式求的近似值，误差不超过(小数点后至少保留六位,计算过程中取的近似值为2)七、（10分）用数值积分计算的近似值，要求误差不超过。八、（10分）设，(1)建立含的一阶常微分方程初值问题；(2)给出改进的方法的求解公式；(3)用改进的方法求解的近似值(取步长).九、（10分）确定下列求积公式的系数及节点使其代数精确度尽可能高,并指出是否为高斯型求积公式;最后证明该公式有如下误差公式：一、填空题：(共15分，第7题2分，其余每空1分)1.   用四舍五入得近似值，有位有效数字，其相对误差限.2.   已知勒

7、让德多项式系中的，则上关于权函数的两点高斯型求积公式为，用它计算（用分数表示）.3.    已知矩阵在附近有一特征值，怎样用反幂法求得这一特征值.4.     设，，则，，(用根号表示).5.   求近似值的牛顿迭代公式,它的收敛阶为.6.   给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式，并说明理由.7.    已知,试求满足插值条件且的五次多项式.8.     数值微分公式的截断误差.二、（15分）对于线性方程组分别写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性.三、（10分）对于线性方程组,其中(1)解方程组；(2)求.

8、四、（10分）求在上形如的最佳平方逼近多项式.五、（10分）用插值法求在与相切，在与相交的二次多项式，并给出