北理工数值分析chap1-2

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1、第一章习题P104，7，9，11，12第二章习题1(1)(Gauss消元,列主元),3,5(1),6,7,8(1),10,12,13下载课件地址：http://tol.bit.edu.cn精品课程《数值代数与数值分析》绝对误差、相对误差和有效数字误差的传播3.2算法的数值稳定性算法Ⅰ算法Ⅱn(算法Ⅰ)(算法Ⅱ)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.0343063350

2、.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222分析什么原因：由算法Ⅰ对算法Ⅱ§4数值计算中应注意的问题1.避免两个相近的数相减解若取则一般

3、地，当x充分大时，应作变换：当x接近零时，应作变换2.避免大数“吃”小数.计算机浮点数运算导致绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被吃掉，3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值4.简化计算，减少运算次数，提高效率如计算n次多项式的值需次乘法运算，5.选用数值稳定性好的算法.次加法运算，个存储单元需次乘法运算，次加法运算，个存储单元(3)问题：求解方程组矩阵表示:第二章线性方程组的直接解法其中§1高斯消元法基本思想：将方程组化为同解的上三角形方程组然后反序求解逐次消去变量，消元过程回代过程消元过程:一般情形其中:简

4、记为:其中次消元后，方程组化成其中回代过程高斯消元法的乘除计算量消元过程回代过程注1：注2：可以进行Gauss消去法的一个充分条件Gauss消去法的计算量较Gramer法则的计算量少得多;例求解方程组（保留四位小数）解1：直接消元回代得解2：先将方程组变形再消元回代得启示：可以通过交换方程的次序使对角元素尽可能大，从而避免“小”数分母提高计算精度。===〉主元素法2.1列主元素法基本思想：2.主元素法在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元，通过对换行将其换到对角线上，然后进行消元.2.2全主元素

5、法P17例3:用主元素法求解线性方程组计算过程保留三位小数,方程的精确解为x1*=1,x2*=2,x3*=3.解1:按列主元素法，求解过程如下消元回代得解2:按全主元素法，求解过程如下回代得总结：直接Gauss消去，列主元素法，全主元素法计算时间最短，精度最差：直接Gauss消去计算时间最长，精度最高：全主元素法实践表明：列主元素法具有良好的数值稳定，且计算量与远低于全主元素法，所以列主元素法是求解小型稠密方程组的最好办法之一。复习初等矩阵§3直接三角分解法复习初等矩阵3.1高斯消元法的矩阵表示第一次消元第k次消元消元过

6、程：消元过程：消元过程：消元过程：3.2矩阵的三角分解LU分解的计算公式:计算顺序：紧凑格式:例求矩阵A的三角分解解：按紧凑格式例考虑方程其精确解：例考虑方程