北理工数值分析第二章第二部分ppt

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1、1§4平方根法和改进的平方根法若A对称矩阵，则A正定等价于下列任何一个条件2§4.1平方根法(Cholesky分解法）34矩阵相乘比较得计算公式56计算顺序：7方程求解公式：891011Cholesky分解计算量：算法稳定，无须选主元。缺点：需做n次开方运算。12§4.2改进的平方根法(分解法）13记1415方程求解公式：16171819例　设有方程组=20解：=212223平方根和改进的平方根方法的优点：事实上,有24MATLAB函数25正定性绝对齐次性三角不等式§5误差分析§5.1向量和矩阵的范数（一）向量的范数26

2、常用向量范数1－范数2－范数27两种范数等价的定义:28（二）矩阵的范数则称矩阵范数与向量范数满足相容性条件29由向量范数诱导的矩阵范数：定义：若注:由向量范数诱导的矩阵范数满足此条件30常用矩阵范数1－范数（列范数）2－范数（谱范数）F－范数31注：1.矩阵的1，2，∞范数是分别由向量的1，2，∞范数诱导出的矩阵范数；2.所有矩阵范数都是等价的323334§5.2方程组的状态与条件数例当方程组的系数矩阵或右端项出现微小变化（扰动），而引起解的巨大变化时称方程组是病态的.35分析方程的病态是有什么因素造成的？相容性363

3、7系数矩阵A的条件数刻画了方程组Ax=b的“病态”程度，条件数越大，“病态”越严重方程组的病态程度只与系数矩阵有关，与右端项无关通常称条件数大的方程组为“病态”方程组38常用条件数39条件数的性质40例:求A的条件数解：下列情况，病态的可能性较大(1)系数矩阵行(或列)近似相关时(2)系数矩阵元素数量级差异很大(3)用选主元消去法时，主元素绝对值很小4142norm(A):求矩阵的2范数norm(A,p):求矩阵的p范数(p=1,2,inf等)cond(A):求矩阵用2范数表示的条件数cond(A,p):求矩阵的p范数表

4、示的条件数(p=1,2,inf等)MATLAB函数43§5.3误差分析44结论：当A非病态时，残量的大小可刻划近似解的准确程度。当A病态严重时则不然。454647注:当A不是非常病态时，可以用下述方法改善解的精度4849§6超定线性方程组的最小二乘解称为超定方程组.50残向量:51由多元函数求极值的必要条件知，最小二乘解应满足：52最小二乘解应满足：53.54例求方程组的最小二乘解.解55正则方程组所以方程组的最小二乘解为56第二章总结Gauss消去法，列主元素法三角分解法平方根法(Cholesky分解法)改进的平方根法

5、三对角矩阵的追赶法向量，矩阵的范数，条件数及误差分析超定线性方程组的最小二乘解57Ex.P58.1,2,3,6,7,8,10,11,12