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1、第二章方程求根的迭代法第一节方程求根与二分法一、方程求根和根的隔离函数方程/Cr)=O的求根是数值计算经常遇到的问题。/(x)为一般连续函数时成为超越方程；,(x)=p(x)=aoxn+a1xn_I+---+an_}x+an9aQ矣0称为多项数；pw=0称为代数(多项式〉方程；满足/(/)=0的值/称为方程/U)=0的根，又称为函数/U)的零点。若/(x)=(又-/:)'(义)，m为正整数且g(Z)矣0，称Z为/⑺=0的m重根。注1:若/为/(x)m重零点，且g(x)充分光滑，贝IJ由代数基本定理
2、知：1)/⑺=pU)=+%，1+…+f+心=0在复数域范围内有n个根;2)/K4的代数方程可用公式将根表示出来，n=2可直接公式计算；3)3时代数方程求根均与超越方程一样用迭代法求根；在中有根/的前提下，求根采用逐次逼近思想构造迭代方法：1)取步长/z=^―—?令〜=+=0，1,…，H);n2)从左到右检查./U)符号，如/(xj和/(〜)的异号，则得一有根区间，宽度为3）再如此计算下去，贝IJ缩小的有根区间。例1:
3、求方程/（%）=x3-ll.lx2+38.8x-41.77=0的有根区间。解：x0
4、123456/W符号--++--+方程的有根区间三个:[1,2],[3,4],[5,6]二、二分法二分法思想：设/（X）在[6Z，/d上连续，[67，列为有根区间，取中点x0=早，设/⑻<0，f（b）>0,检查/（〜）符号，1）若/0。）=0，则&就是一个根；2）若/（1。）〉0，则取％=“，/?,=a：0,得有根区间[6Z1，/?」；3）若/（%。）<0，则取％=xQ，b'=b，得有根区间[%，/?」；均可使有根区间长度缩小一半，再令;再施以同样的方法，2可得新有根区间匕人]，如此反复下去可得一系
5、列有根区间：[6Z2，/?2]Z>…每个区间均为前一区间的一半，故bn-aj1^当77-〉。0时，brl-an-〉Q，且lim=lim+么=x*，此为方程的根。/I—OOZ2-OO2即为方程的近似根，且有误差估计为k-x<^-22例2:用二分法求方程/(0=r3-*-1=0在区间［1,1.5］的一实根，准确到小数点后2位。解：“=1，/?=1.5，取;^=1.25,/（I）<0/（I.5）>0，（1.25）<0/（1.375）〉0/（1..3125）<0/（1.34375）>0/（1.3281）>
6、0/（1.3203）<0取％=“6+/?6=1.3242,2检查/U。）的符号，决定新区间有根区间[1.1.5][1.25.1.5][1.25.1.375][1.3125.1.375][1.3125,1.34375][1.3125.1.3281][1.3203.1.3281]误差限
7、x6<^5<0.005故&即为所求的近似根，实际上根/=1.324717…二分法优点：计算简单，收敛有保证；缺点：收敛速度慢，不能求复根和双重根。第二节迭代法及其收敛性一、不动点迭代法与压缩映射原理./•⑺=0/（幻=0
8、求根/<=>X=g（x）<=>x=g（x）求根Z定义1:满足x=g(x)的点£称为g(x)的不动点。若己知方程/(%)=0的一个近似根代入x=g(x)右边，即得&=以&)，如此反复，可得迭代序列：Xk+i=g(xk),dl,2,…，gU)称为迭代函数，如limxA.=x则称迭代过程XA.+I=，A=0，l，2,…收敛。/就是g(x)的小动点，故该方法称为不动点迭代法。例3:用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在*()=1.5附近的根x*。解：方程改写成•¥=Vl+义，构造迭代法=ji+xk，
9、Z:=0,1,2,••-故％。=1.5%,=1.35721x2=1.33086%3=1.32588%4=1.32494%5=1.32476x6=1.32473x7=1.32472x8=1.32472说明该迭代过程收敛，且&=&=1.32472未方程的近似根。上例中，若方程改写成*=建立迭代公式；^+1=0,1,2,...则七=1.5，6=2.375，x2=12.39,…，巧的值越算越大，故迭代过程不收敛，该迭代法不能用。该例表明：方程改写的形式不同，得到的迭代法有的收敛，有的发散，只有收敛的迭代法方
10、有意义。定义2:假定gCr)在［〃，/，］上连续，若存在常数£，0<£<1,使得Vx，ye［a,b］9成立
11、g(x)-g()，)
12、S+_)7
13、，则称g在［«，&］上为压缩映射注意：若/(，)在［//，/?］上连续且max
14、^z(x)
15、16、=g^x-y^
