《数值分析第二章》ppt课件

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1、§2.1Gauss消去法高斯消元法步骤：(1)首先将增广阵[A,b]化为上三角阵;(2)用三角方程组，回代求解.例1用消去法解方程组(1)(2)(3)解(1)化上三角方程组①②③①②④③+(-2)×①④+②①②⑤①②⑤(2)回代过程.得到同解方程组后,如下求解从下向上逐步求解把x3的值代入②求x2用x3,x2的值求x1上三角方程组：对应增广阵的变化(-2)×r1+r3→r3r2+r3→r3上三角阵高斯消元法的基本思想将原方程组逐次消去未知元，变为与之同解的上三角方程组，再回代求解。用矩阵语言叙述是，仅用行初等变换把增广阵约化为上三角阵，对上三角方程

2、组，回代求解。高斯消元法的一般性叙述用行变换根据下面的上三角方程组,逐次回代求解xk(2.5)2.1.1顺序Gauss消去法在使用高斯消去法的过程中，仅对方程组做行倍加变换，就是顺序高斯消去法。1.消元过程对于k=1,2,…,n-1执行(1)如果,则算法失效,停止计算;否则转(2)(2)对于i=k+1,k+2,…,n计算算法如下：记Mik行乘数第k次消元后,增广阵变为2.回代过程顺序高斯消去法求解n元线性方程组的乘除运算总次数为顺序高斯消去法计算过程中出现的称为主元素.出现消元过程就进行不下去了.即使detA≠0，也可能对某个k

3、理给出了避免出现这种情况的条件。定理2.1顺序高斯消去法的前n1个主元均不为零的充要条件是Axb的系数矩阵A的前n1个顺序主子式证因为,第k个顺序主子式Dk等于前k个主元之积!例子此式解释又第k个主元被顺序主子式所确定:注解：方程组(2.1)的系数矩阵A的n个顺序主子式Dk均不为零，保证了主元均不为零,使顺序消去法得以进行。但，当遇到某个主元的绝对值很小时，将使行乘数-mik的绝对值很大，则舍入误差的积累会很大，计算出的近似解会有很大的误差。顺序高斯消去法的数值稳定性是没有保证的!顺序主元消去法可能计算失败之例例：单精度解方程组/*精确解为

4、和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个小主元/*Smallpivotelement*/可能导致计算失败。大数吃小数!2.1.2列主元Gauss消去法定义使用高斯消去法的过程中，在第k次消元前，先对第k个增广阵[A(k),b(k)]做交换二行的变换，把中绝对值最大的元素换到(k,k)位置，再消元。此方法叫列主元高斯消去法。其算法如下：记1.消元过程对于k=1,2,…,n-1执行(1)选行号ik，使(2)交换第k行与第ik行（中数值）。(3)对于i=k+1,k+2,…,n计算2.回代过程注解：此算法中的称为第k个列主元素，

5、它的值总要被换到位置(k,k)。定理2.2设方程组(2.1)的系数矩阵A非奇异，则用列主元素消去法求解方程组时，各个列主元素均不为零。证设有一个列主元素为零，当消元进行到第r次时，由行列式性质，容易知道，系数矩阵A的行列式有下面的形状:矛盾于A非奇异。第r行r列下方元素全为0评论：列主元素消去法，所需条件较少，仅仅要求方程组的系数矩阵A非奇异。而且，对一般的方程组，它还具有良好的数值稳定性，其计算量与顺序消去法的计算量相当。例1在四位十进制的限制下，分别用顺序消去法与列主元素消去法求解下列方程组解用顺序消去法的消元过程：回代后，得(-1/0.01

6、2)×r1+r2→r2(-3200/0.012)×r1+r3→r3完全失真!!原方程组：近似解：把上近似解代入第3个方程后，得3200×(-104)+1200×100+4.2×5.546=-2.1278e+005检验列主元素列主元素法的消元过程：回代后，得列主元素√由此看出，列主元法的精度明显高于顺序消去法!!原方程组：近似解：把上近似解代入第3个方程后，得3200×17.46+1200×(-45.76)+4.2×5.546=983.2932检验数学符号x0,x1,,xm,0x,1x,,nx,,ax0x1xm

7、b,,f(x)a0a1xamxm,a1a2aka1,,am,L0x,L1x,,Lnx,k=0,1,,n(x),x0n20axbk1,nm,q0,q1,(a)0nΓΔΘΛΞΦΨΩk0f(x)C[a,b](xj,yj),j=0,1,…,m,ΔA,ARnn,b,bRn,A,║

8、ij(fp*,fp*),,

9、xa

10、(a)0.510mn,nk,a10,mZ,