2009-2016数值分析真题.pdf

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1、四川大学硕士研究生考试试题A（2009—2010学年第一学期）科目：现代数学基础任课教师：徐有才适用专业年级：计算机学院2009级硕士研究生学生人数：一、(10分)用二次Lagrange插值多项式Lx2()计算sin0.34，插值节点和相应的函数值如下表：二、(15分)已知函数yfx=()满足如下条件：(1)求满足插值条件Px()=yx(=0,1,2),P′′(0)=0,P(1)1=的四次插值多项式Px4()；4iii44(2)推导插值余项fxPx()−()（假设fx()五阶连续可导）.42三、(20分)试确定常数A，B，C和α，使得数

2、值求积公式∫fxx()d≈−+Af(αα)Bf(0)+Cf()−2有尽可能高的代数精度，所得数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？11四、(10分)写出数值积分梯形公式和Simpson公式，并用来分别计算积分∫.01+x五、(15分)利用矩阵的LU分解法解方程组xxx++=23141232xxx123++=5218.3xxx++=520123六、(20分)已知线性方程组10xxx−−=27.2123−+xxx10−=28.3123−−+=xxx54.2123(1)写出解该方程组的J迭代公式、G-S迭代公

3、式；(2)对应初始值X(0)=(0,0,0)T，应用J迭代公式、G-S迭代公式分别计算(2)X（小数点后保留五位有效数字）.七、(10分)证明：(1)矩阵A的谱半径SA()与范数A有关系：SA()≤A；(2)若n阶矩阵A满足A<1，则矩阵IA−非奇异（其中I为n阶单位矩阵）.注：答案中若出现小数，保留小数点后4位。第1页共1页四川大学硕士研究生考试试题A（2010—2011学年第一学期）科目：现代数学基础任课教师：徐有才适用专业年级：计算机学院2010级硕士研究生学生人数：一、(20分)求满足插值条件PPP(0)==1,(2)−=1,′

4、(1)−1的二次插值多项式Px2()，并推导插值222余项fxPx()−()（假设fx()三阶连续可导）.2hh2二、(15分)确定求积公式∫fxx()d=++[(0)ffh()]αhf[(0)′′−fh()]中的待定参数α，使该02公式的代数精度尽量的高，并指出该公式的代数精度是多少.三、(15分)用平方根法求解方程组411−x61−=14.252.75x2−0.5.12.743.5x1.253四、(20分)已知线性方程组97xxx−−=123−++=xxx807123

5、−++=xxx098123(1)写出解该方程组的J迭代公式、G-S迭代公式；(2)对应初始值X(0)=(0,0,0)T(k+1)，使XX(kk+−1)−<()103，应用G-S迭代公式求近似解X∞（小数点后保留四位有效数字）.五、(15分)简述Gauss型求积公式的定义，并证明：.(1)Gauss型求积公式是具有最高代数精度的求积公式；(2)Gauss型求积公式总是稳定的.六、(15分)证明下列命题：(1)设ABR,∈nn×且为nn×上矩阵的范数，则有condAB()≤condAcondB()()；R−11(2)矩阵AR∈nn×非

6、奇异，为Rnn×上矩阵的范数，则有A≥；A(3)若矩阵A的谱半径SA()1<，矩阵IA+非奇异.注：答案中若出现小数，保留小数点后4位。第1页共1页四川大学硕士研究生考试试题B（2010—2011学年第一学期）科目：现代数学基础任课教师：适用专业年级：学生人数：一、(20分)求满足插值条件PPPP(1)=−=1,(2)−==3,(3)1,′(3)9的三次插值多项式Px3()，并1233推导插值余项fxPx()−3()（假设fx()四阶连续可导）.k二、(15分)确定求积公式fxxAfh()d≈(−+)Af(0)+Afh()中的待定参数

7、，使该公式的代∫−101−k数精度尽量的高，并指出该公式的代数精度是多少.三、(15分)用矩阵LU分解法求解方程组1123x130212x12=.1-122x332259x47四、(20分)已知线性方程组5xxx++=2−12123−++=xxx42201232xxx−+=3103123(1)写出解该方程组的J迭代公式、G-S迭代公式；(2)对应初始值X(0)=T(k+1)，使XX(kk+−1)−<()103(0,0,0)，应用G-S迭代公式求近似解X∞（

8、小数点后保留四位有效数字）.五、(15分)简述Gauss型求积公式的定义，并证明：.(1)Gauss型求积公式是具有最高代数精度的求积公式；(2)Gauss型求积公式总是稳定的.六、(15分)证明下列命题：