点差法巧解椭圆中的范围问题.pdf

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1、２０１４年４月１日理科考试研究·数学版·１１·点差法巧解椭圆中的范围问题湖北省宜都市二中４４３３００邹云点差法，顾名思义“代点作差”，是解决解析几何中点弦相曲线E上任意一点P满足｜PA｜＋｜PB｜为关问题的重要方法，在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆常数．锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线（１）建立适当的坐标系，求曲线E的的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的方程；斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是（２）过D的直线l与曲线E相交不同的在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“设而不求”的目的，两点M、N，且M在DN之间

2、，若DM＝λDN，求λ的取值范围．同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：解析以AB中点为原点，以AB２２xy所在直线为x轴建立直角坐标系．在椭圆２＋２＝１（a＞b＞０）中，直线l与椭圆相交于ab（１）根据椭圆定义易得曲线EA（x，y），B（x，y）两点，弦AB的中点为（x，y），我们可以得２１１２２００x２的方程为＋y＝１．２２x０b到直线的斜率为k＝－２，即实现用弦的中点坐标表示弦的y０a（２）设N（x０，y０），则M为（λx０，斜率．下面我们来看一道例题．λy０＋２－２λ）．２２２２xy点M、N代入x＋２y＝２，即例１已知椭圆＋＝１和直线l：y＝４x＋m，试确

3、定２２４３x０＋２y０＝２，m的范围，使椭圆上有两个不同的点关于l对称．２２（λx０）＋２（λy０＋２－２λ）＝２．解析该题是直线与椭圆综合问题中的范围问题，是学３１消去x０，得λ＝．而－１≤y０≤１，则≤λ≤３，生普遍觉得较为困难的问题．传统方法主要是联立方程，利用５－４y０３Δ＞０，寻找m与Δ的联系，操作起来比较麻烦．下面用点差法又且M在DN之间，则λ＜１．试一试．１所以λ的取值范围为≤λ＜１．设A（x１，y１），B（x２，y２）是椭圆上关于l对称的两点，其中３点为（x０，y０），且AB⊥l，将A、B代入椭圆的方程作差可得本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，y

4、１－y２x１＋x２３２x０３１运用点差法简化了解题过程．在处理解析几何中的范围问题＝－·＝－·＝－痴y０＝３x０．x１－x２y１＋y２４２y０４４时，我们常用Δ＞０来解决问题，方法较为复杂．事实上我们还又y０＝４x０＋m，可解得x０＝－m，y０＝－３m．可以寻找参数与圆锥曲线上点的坐标之间的联系，特别是建立２２（－m）（－３m）参数与横坐标或纵坐标之间的函数关系，从而迅速地求出参数而（x０，y０）在椭圆内部，即＋＜１痴－４３的取值范围也是一种重要的解题思路．２２２１３２１３类似试题比较多，例如：已知圆C：（x＋１）＋y＝８，定点＜m＜．１３１３A（１，０），M为圆上动点，点P在

5、AM上，点N在CM上（C为圆本题的解题过程巧用点差法，利用中点始终在椭圆内，简心），且NP垂直平分线段AM，点N的轨迹为曲线E．化了计算，较传统方法简单得多．（１）求曲线E的方程；点差法就是利用弦的中点表示弦的斜率，在本题中用来解（２）若过定点F（０，２）的直线交曲线E于不同的两点G，决参数范围问题，思路简单，解题过程简洁．事实上，中点即二H（点G在点F，H之间），且满足FC＝λFH，求λ的取值范围．等分点，点差法既然可以解决中点相关问题，那么这种方法能本题可以参照例２来解决，在此不再赘述．本文旨在介绍否推广，解决弦的其他分点问题？下面再看一道例题．点差法不仅能解决中点弦的直线

6、方程问题，还可以用来求解范例２如图，在Ｒｔ△ABC中，∠CAB＝９０°，AB＝２，AC＝围问题，特别是从中点推广到其他分点，仍然采用点差法的思２路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们，D是线段AB的中垂线上一点，D到AB的距离为２，过点C的２学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．磼１．从待证不等式形式变化的角度当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元．前文已总结出６种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元以上我们介绍了用“构造函数法”证明不等式时构造辅助法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强，函数的六种方法，指向性十分明确．如

7、果面对的是另类的陌生换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式，情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根提出了具体的操作方法．据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体２．根据待证不等式所含“元”的个数问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变我们提出“元”数分析法，这里的“元”指独立变化的字母，通，多管齐下，多法并用．点差法巧解椭圆中的范围问题作者：邹云作者单位：湖北省宜都市二中443300刊名：理科考试研究（高中版）英文刊名：Exami