用点差法巧解圆锥曲线问题.doc

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1、用“点差法”巧解圆锥曲线问题江苏省高淳中等专业学校喻国忠解析几何是高考的重点内容，而圆锥曲线又是解析几何的重点、难点知识。这里面，直线与圆锥曲线的位置关系问题综合性强，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变，常常是打击学生们学习兴趣的罪魁祸首。直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。解这类中点弦问题的常规做法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助根的判别式及韦达定理中根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算过程复杂，计算量偏大，解题效率低，尤其是对于基础较差、计算能力较弱的学生来说，很容易算错。而使用“点差法”来进行求解中

2、点弦问题，往往可以使解题过程化繁为简，优化解题过程，出奇制胜。所谓“点差法”，就是在求解“中点弦”问题时用到的一种“代点作差”的解题方法，其特点是代点作差后可巧代直线斜率和中点坐标，进而通过“设而不求”以达到减少计算量的目的。使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。下面试举几例，感受“点差法”在解题过程中的妙用。例1．求以椭圆内的一点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。解法一：当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，则，消去y得：，，即，，从而直线方程为。解法二：当直线斜率不存在时，A点不可能为

3、弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，则，得，，，，即，从而直线方程为。评注：“韦达定理法”主要是通过设线入手，利用方程思想解题，解法一中方程组的消元化简以及后面的整理计算较为繁琐，稍不注意就会算错，解题效率低。而解法二巧用代点做差，结合中点坐标公式，很容易求出所求直线的斜率，从而达到解题的目标，两法比较，高下立现。例2．已知椭圆，求斜率为的平行弦的中点轨迹方程。解：设弦的两个端点为，，弦的中点为，则，得，，，即，所以，中点轨迹方程为（在已知椭圆内）。评注：求轨迹的问题核心在于得出动点的坐标（x，y）所要满足的关系式，本题运用“点差法”解题，将

4、弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，从而得到动点坐标所要满足的约束条件，进而可求出动点的轨迹方程，方法巧妙，计算简便。例3：若抛物线C:上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围。解：当m=0时，直线，显然满足题意。当时，设抛物线C上关于直线对称的两点分别为，，AB的中点为，则，得，，因为直线的斜率为m，故，，又中点在直线上，于是，。因为中点P必在抛物线C区域内，，即，解之得。综上，实数m的取值范围为。评注：圆锥曲线中求参数的范围很多都是难点问题，在恰当的时候应用“点差法”，有利于挖掘参数满足的条件，更方便于求参数的取值范围

5、。从以上例子可以看出：在解析几何中，“点差法”作为“设而不求”的一种经典方法，有效避免了运算上的一系列麻烦，大大地降低了运算量，同时也使得解题的思路变得更简捷明了。当题目中出现曲线、直线的斜率、相交弦的中点时，这三个条件一般情况下是知二求一，巧妙应用“点差法”，将此类型的题模式化，可以又快又好地解决问题。“点差法”虽好，但其在求圆锥曲线“中点弦”的问题当中，也有本身的“内伤”，往往容易忽视直线与圆锥曲线相交的前提条件，尤其是解双曲线这一类圆锥曲线的“中点弦”问题，请看下例。例4：已知双曲线，经过点M(1,1)能否作一条直线，使与双曲线交于A,B，且点M是线段

6、AB的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点M平分的弦AB，且，，则，，两式相减得，，，故直线AB方程为：，即。(注：我们通常在这里匆匆结束，造成失误。)但若将代入整理得方程，，则方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线。评注：本题中双曲线属未封闭曲线，且点M在曲线外，则被点平分的弦可能不存在。“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交，因此还必须对所求得直线方程的存在性进行验证。如果忽视对判别式的检验，将得出错误的结果，请务必小心。综上：在解析几何中，特别是在解“中点弦”问题时，“点差法”确实好用，避

7、免了大量的运算，也简化了解题思路，但同时也务必要细心，要注意到其使用的局限性。只要我们平时认真观察，注意积累，注意通性通法，重视具有普遍意义的方法和相关的知识的学习，突出对主干知识、数学思想方法的领会，一定能发现更多的、更好的、有价值的数学资源，提高数学学习的效率。