高三用点差法解中点弦问题专题教案

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1、用点差法解圆锥曲线的中点弦问题江夏一中郭飞教学目标：知识与技能（1）能解决弦中点等有关问题；（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。教学重点：点差法适用范围教学难点：（1）弦中点问题的求解思路灵活运用（2）

2、双曲线的中点弦存在性问题；（3）弦中点的轨迹应在曲线内。教学方法师生互动探究式教学法引言：我们把不能解决的案子，称为悬案。在圆锥曲线中也有三大弦案:中点弦、直角弦、焦点弦。今天我们学的就是中点弦。一、求过定点被定点平分的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在的直线方程请学生口述过程，找到处理这种问题的所在方法解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆

3、的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。解法四：利用点差法得出的结论得故所求直线方程为。解法五：学生直接由图形看出端点的中点即所求直线。结论1(椭圆中点弦的斜率公式)：设为椭圆弦（不平行且垂直轴）的中点，则有：例2、已知双曲线，经过点作一条直线L，使L与双曲线交于、，且点是线段的中点，求出直

4、线L的方程。请学生演板，学生只求出直线方程。两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一种点差法解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得　故直线提醒学生画图观察此时的结果不正确，补充以检验。由　消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。问题1：例题1中的直线是不是也要验证呢？问题2是否也可以不验证∆>0而只需通过点M与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢答：可以。如果点M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证∆；如果点M在双曲线的外部（如问题2），那

5、么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证∆>0。师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证∆>0是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。注意1解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证∆>0是否成立。∆在求范围，考虑直线存在性，求多个值去增根时我们用得较多。由例2请学生总结韦达定理法和点差法到底哪一种更好？生：点差法好，运算简单，形式有美感那么双曲线中我们是否有相应的结论呢？请

6、学生分小组总结，并寻找记忆公式方法。定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设为双曲线弦（不平行且垂直轴）的中点，则有圆中是否存在此定理呢？设为圆弦（不平行且垂直轴）的中点，则有这里我们用了什么数学思想？答：类比的思想请学生做此练习练习.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.由MN的中点Q的横坐标为，Q也在直线y=x-1上，则故选D总结：这里的结论即弦中点坐标，弦斜率与曲线方程的关系。二、平行弦中点轨迹例3、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设

7、弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为点评:此题学生很多没写出范围，也有学生补充中点弦轨迹应在曲线内，端点取不取也可让学生思考，端点即切线得的点并非弦，所以无等号。注意2：中点弦轨迹应在曲线内小结前三个题为什么我们可以用点差法?请演板的同学回答生：例2是知弦中点坐标，曲线方程，求弦斜率生：练习是知弦中点坐标，弦斜率，求曲线方程生：例3是知弦斜率，曲线方程，求弦中点总结：这三者知二而求一，这是用点差法的依据三．过定点的弦的中点的轨迹例4、过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ

8、中点的轨迹方程。演板的学生用参数法，主要根据是韦达定理。请学生口答补充以上两法。点差法可用公式探路，点差作答。解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（）