点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.doc

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1、点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用x2y2定理在椭圆1（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点Px0y0a2b2y0b2是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.x0a证明：设M、N两点的坐标分别为x1y1、x2y2，x12y122211ab则有22x2y21.2a2b2xxyy222212，得1221220.aby2y1y2y1b2∴2.x2x1x2x1ay2y1y1y22yyyb2又kMN.∴kMN2.x2x1x1x22xxxax2y2同理可证，在椭圆1a＞b＞0）若直线l与椭圆相交于M、两点，Px0y

2、0（中，N点b2a2y0a2是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.x0b典题妙解y2例1设椭圆方程为x1，过点M01的24直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足111OPOAOB，点N的坐标为.当l绕点222M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）NP的最大值和最小值.解：（1）设动点P的坐标为xy.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点.焦点在y上，a4b1.假设直线l的斜率存在.22ya2y1y由kAB2得：4.xbxx整理，得：4xyy0.22当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点O00，也满足方程。∴所求的轨迹方程为4x2y

3、2y0.1y22x21.∴1≤x≤1.（2）配方，得：114416411∴NP2x2y222121xx2241273x61211121∴当x时，NPmin；当x时，NPmax.4466x2例2在直角坐标系xOy中，经过点02且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同2的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、是否存在常数k，yB，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l的方程为ykx2.ykx2由x2得：2k21x242kx20.y1.22x2直线l与椭圆y21有两个不同的交点，222

4、∴32k282k21＞0.解之得：k＜或k＞.2222∴k的取值范围是∞∞.22x2（2）圆在椭y21中，∴焦点在x轴上，a2b1，A20B01AB21.2设弦PQ的中点为Mx0y0，则OMx0y10.由平行四边形法则可知：OPOQ2OM.OPOQ与AB共线，∴OM与AB共线.x0y0y2∴，从而0.21x02y0b2212由kPQ2得：k22，∴k2.x0a2由（1）可知k时，直线l与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k.2x2y22例3已知椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e，右准ab2线方程为x2.Ⅰ求椭圆的标准方程；226Ⅱ过点F1的直线

5、l与该椭圆相交于M、N两点，且F2MF2N，求直线l的方程.3解：（Ⅰ）根据题意，得c2e2a2∴a2b1c1.∴所求的椭圆方程为xy21.2xa2.2c（Ⅱ）椭圆的焦点为F110、F210.设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为Pxy.由平行四边形法则知：F2MF2N2F2P.2262626由F2MF2N得：F2P.∴x12y2.……………①339若直线l的斜率不存在，则l⊥x轴，这时点P与F110重合，F2MF2N2F2F14，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.yb2yy11由kMN2得：.∴y2x2x.………②xax1x221226②代入①，得x12xx.29172整理，得：9

6、x245x170.解之得：x，或x.331721y由②可知，x不合题意.∴x，从而y±.∴k±1.333x1∴所求的直线l方程为yx1，或yx1.x2y23例4已知椭圆C:221（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于ab32A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.2（1）求ab的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.解（1）：椭圆的右焦点为Fc0，直线l的斜率为1时，则其方程为yxc，xyc0.即00c2c2原点O到l的距离：d，∴c1.222c3又e，∴

7、a3.从而b2.∴a3，b2.a3x2y2（2）椭圆的方程为1.设弦AB的中点为Qxy.由OPOAOB可知，点Q324x2是线段OP的中点，点P的坐标为2x2y.∴2y21.…………………①3若直线l的斜率不存在，则l⊥x轴，这时点Q与F10重合，OP20，点P不在椭圆上，故直线l的斜率存在.yb2yy22由kAB2得：.∴y2x2x.………………………②xax1x3332由①和②解得：xy±.4432y32∴当xy时，kAB2，点P的坐标为，直线l的方程为44x1222xy20