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1、2007年第15期数学通讯19谈突破难以建系的立体几何问题阮灵东(余干县蓝天中学,江西335101)中图分类号:O123.2-44文献标识码:A文章编号:0488-7395(2007)15-0019-02高考的立体几何题的命制,由于兼顾人3)直线AA1与平面B1D1DB的距离;教版高二数学九(A)和九(B)教材,在立体4)二面角A-BB1-D的平面角的余弦几何问题中常常设置一些易建系的问题,然值.后在空间直角坐标系下来解决.倘若,空间直解设AB=a,AD=b,AA1=c,角坐标系不易建立时,能否用向量法解决呢?则a=b=c=1,在教材、复习资料及杂志上都很少涉及这类12a·b=
2、0,a·c=,b·c=.问题.难道这类问题就真的用中学所学的向22量知识难以解决吗?1)∵AB1=a+c,A1C=a+b-c,笔者通过反思,找到了用空间向量的基2∴AB1=(a+c)=3,本原理来求解立体几何中难以建系的常见的2A1C=(a+b-c)=2-2,一些问题(如空间的角和距离问题等)普遍适AB1·A1C=(a+c)·(a+b-c)用的方法.下面举例说明,仅供同行们参考.例1如图,在四棱柱ABCD-2=.2A1B1C1D1中,侧棱与底面边长均为1,且AB1·A1C∠A1AB=60°,∠A1AD=45°,∠DAB=∴cos=AB1·AC90°,求:1=.
3、12-62异面直线AB1与A1C所成的角为1arccos.12-622)设n⊥面B1D1DB,且n=xa+yb图1四棱柱+zc,由n·BB1=0,n·BD=0得1)异面直线AB1与A1C所成的角;(xa+yb+zc)·c=0,2)直线AB1与平面B1D1DB所成的(xa+yb+zc)·(b-a)=0,角;收稿日期:2007-04-02作者简介:阮灵东(1968—),男,江西余干人,江西省余干县蓝天中学一级教师.20数学通讯2007年第15期x+2y+2z=0,4)设m⊥面ABB1,且设m=x′a+y′b即+z′c,由m·a=0,m·c=0得2-1x-y-z=0,21x′+z′=
4、0,2取z=1,得122x′+y′+z′=0,x=-,22211-22x′=-,y=,22取z′=1,得32z=1.y′=-,421-22∴n=-a+b+c.z′=1.221322∴m=-a-b+c,又由1)知:∵AB1·n=(a+c)·(-a242面B1D1DB的一个法向量为1-22+b+c)221-22n=-a+b+c,221-2=,2同理可得:m·n27-42cos=n=n=.m·n24-2设AB1与面B1D1DB所成的角为θ,则=42-242AB1·n2-1sinθ==,所求二面角A-BB1-D的平面角的余弦AB1·n21-1224-22-1值为.∴θ=arc
5、sin,直线AB1与42-24221-122该例题是在难以建系情况下,用空间向平面B1D1DB所成的角为量的基本原理巧妙地使问题得以解决,其具2-1arcsin.体方法步骤是:第一步取定一组基底{a,b,21-122c};第二步将空间中任何向量用基向量去表3)因为AA1∥面B1D1DB,所以AA1示;第三步用定理和公理进行解决.要注意:到面B1D1DB的距离等于点A到面选作基底的三个向量除要求不共面外,为了B1D1DB的距离,由公式得:便于计算,还要求这三个向量的模以及两两AB1·n2-1间的夹角为已知.d==,n7-42以上面例题求解过程看出,此解法具有所以AA1到面B1D1
6、DB的距离为普遍适用性,能较好地处理难以建系的立体2-1几何问题,值得提倡..7-42
