建系法巧求立体几何中的动点问题

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1、建系法巧求立体几何中的动点问题■苏艺伟摘要:立体几何试题中经常涉及到动点问题，以小值是22．此为载体考查求距离的最值，体积的最值等．此类试题例2以正方体的三条棱属于动态问题，虽能够较好地考查学生的空间想象能所在直线为坐标轴，建立空间力，推理论证能力，但是对绝大多数学生来讲是比较抽直角坐标系Oxyz．点P在正方象的．对于此类试题，解决方法多样，建系法是其中的体的对角线AB上，点Q在正一种．如果通过建立空间(平面)坐标系，将几何元素方体的棱CD上．间的关系数量化，借助平几知识以及向量知识求解，则(1)当点P为对角线AB可以化抽象为具体，化繁琐为简单．的中点，点Q在棱CD上运动图2关键词

2、:动点;建系;数量化时，求

3、PQ

4、的最小值．类型一单动点(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上例1已知正方体运动时，求

5、PQ

6、的最小值．ABCD－A1B1C1D1棱长为4，解析:如图2所示，以O为原点，建立空间直角坐点H在棱AA1上，且HA1=1，标系．设A(a，a，0)，B(0，0，a)，C(0，a，0)，D(0，a，a)．在侧面BCC1B1内作边长为1aaa(1)由P为AB中点知P(，，)．设Q(0，a，222的正方形EFGC1．点P是侧面BCC1B1内一动点，且点Pt)，0≤t≤a．22到面CDD1C1距离等于线段aaa2图1则

7、PQ

8、=槡4+4+(2－t)PF的长．

9、则当点P运动时，

10、22HP

11、的最小值是．aa2=+(t－)．解析:如图1所示，作PN⊥CC1，则PN⊥面槡22CDD1C1，故

12、PN

13、=

14、PF

15、．故当t=1a时，

16、PQ

17、的最小值为槡2a．2222作HM⊥BB1，连接MP，则

18、HP

19、=

20、HM

21、+a

22、PM

23、2=16+

24、PM

25、2．(2)设P(x，y，z)，由Q为CD中点知Q(0，a，)．2以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直→→由B，P，A三点共线，可设AP=λAB，0≤λ≤1．角坐标系．则(x－a，y－a，z)=λ(－a，－a，a)，解得P(a－则M(4，4，3)，P(x，4，z)，N(0，4，z)，F(1，

26、4，3)．λa，a－λa，λa)．2由

27、PN

28、=

29、PF

30、得槡x=则

31、PQ

32、=222槡(x－1)+(z－3)，即(z－3)=2x－1．22a22222(a－λa)+(a－λa－a)+(λa－)=此时

33、PM

34、=(x－4)+(z－3)=(x－4)+槡222x－1=(x－3)+6≥6．12122a3(λ－)+．故

35、HP

36、≥22．因此当点P运动时，

37、HP

38、的最槡22作者简介:苏艺伟(1986－)，男，福建龙海人，本科，中学二级教师，主要从事高中数学教学研究·37·2221槡2

39、PQ

40、=槡(a－λa)+(－λa)+(λa－t)=故当λ=时，

41、PQ

42、的最小值为a．222122a例3在棱长为6的正

43、方体ABCD－A1B1C1D1中，槡2(λa－2a)+(λa－t)+2．M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动11λ=，点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P－BCD的体λa－a=0，2当且仅当{2即时，

44、PQ

45、积最大值是．{1aλa－t=0．t=2的最小值为槡2a．2π例5在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=，2AB=AC=AA1=2，点G、E分别为线段A1B1，C1C的图3图4中点，点D、F分别为线段AC，AB的上的动点，且GD⊥解析:如图3所示，由∠APD=∠MPC，∠ADP=EF，则线段DF的长度的最小值是．∠MCP，PDAD得△ADP∽△MCP，故

46、==2，即有PD=PCMC2PC．如图4所示，在DCC1D1中建立平面直角坐标系．设D(0，0)，C(6，0)，P(x，y)．2222由PD=2PC，得槡x+y=2槡(x－6)+y，图5图622化简得(x－8)+y=16．解析:如图5所示，以A为原点，AB，AC，AA1为x，这说明点P的轨迹是以(8，0)为圆心，4为半径的y，z轴建立空间直角坐标系．圆．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，当点P位于该圆与CC1的交点处时，PC的长度最B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(0，2，1)，G(1，0，2)，设大，为2槡3．D(0，n，0)，

47、F(m，0，0)，由GD⊥EF得(－1，n，－2)·1·6·6·2槡3(m，－2，－1)=0．即m+2n=2．故三棱锥P－BCD的体积最大值是3222由m+2n=2，得4=(m+2n)≤(1+4)(m=12槡3．2224+n)，即m+n≥．类型二双动点5例4以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建222因此

48、DF

49、=槡m+n≥，当且仅当立空间直角坐标系Oxyz．点P在正方体的对角线AB槡5上，点Q在正方体的棱CD上．当点P在对角线AB上运m=2，5动，点Q在棱CD上运动时