立体几何动点问题

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1、立体几何与平面解析几何的交汇问题在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当

2、宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。一、动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。例1定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点　　例2若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）　　解：设二面角A—BC—D大小为θ，作P

3、R⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴为小于1的常数，故轨迹图形应选（D）。二、几何体的截痕例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab，其中a,b为长、短半轴长）。解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影　　椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时OE例4题图ABCDA1C1D1B1M　　b=R，a==2R，∴离心率，　　

4、投影面积S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。三、动点与某点（面）的距离问题例4．正方体中，棱长为a，E是的中点，在对角面上找一动点M，使AM+ME最小.．四、常见的轨迹问题（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法.例5、（北京）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支【解析】直线l运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面，由公理二易知点C刚好落在平面与线段AB的垂面的交线上，所以动

5、点C的轨迹是一条直线.选择A.总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可.BCD1B1CgPO例6、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若四边形A1BCD1内一动点P到AB1和BC的距离相等，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．圆的一部分C．一条线段D．抛物线的一部分【解析】由于AB1^平面ABCD11，连接OP，此即为点P到AB1的距离，由此，动点P到AB1和BC的距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问题，符合抛物线的定义，所以本题选D.

6、总结：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.例7、（浙江）如图，AB是平面的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线【解析】考虑到三角形的面积为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到P点在此圆柱面上，又点P在平面内运动，所以点P在平面与圆柱面的截线上，由于AB是平面的斜线段．．．，所以平

7、面与圆柱面斜交，由命题1，可以得到动点P的轨迹是椭圆总结：“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程.例8、如图，在矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将△ABE沿着直线BE翻转成△ABE1，使平面ABE1⊥平面ABCD，则点A1的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.以上都不是【解析】将△ABE沿着直线BE翻转成DABE1的过程中，AB1的长度始终是保持不变的，这样，点A1在以B为球心，以AB为半径的球面上，所以点A1的形成轨迹为圆弧，选择B.AB总结:在空间，到定点的距离为定

8、长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.例9、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直ABCD1A1B1C1DMPxyQN线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．