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《立体几何(向量法)—建系讲义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1A
2、BB1的距离;（Ⅱ）若AB1A1C求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为22CD＝BC－BD＝5.(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠
3、A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝AA1A1B12∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此＝，即AA1＝AD·A1B1＝8，得ADAA1AA1＝22.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22从而A1D＝AA1＋AD＝23.所以，在Rt△A1DD1中，DD1AA16cos∠A1DD1＝＝＝.A1DA1D3解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z
4、轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，5，→→0)，C1(0，5，h)，从而AB1＝(4,0，h)，A1C＝(2，5，－h)．→→2由AB1⊥A1C，有8－h＝0，h＝22.→→→故DA1＝(－2,0,22)，CC1＝(0,0,22)，DC＝(0，5，0)．→→设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥DC，m⊥DA1，即5y1＝0，－2x1＋22z1＝0，取z1＝1，得m＝(2，0,1)，→→设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2
5、，z2)，则n⊥DC，n⊥CC1，即5y2＝0，22z2＝0，取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以m·n26cos〈m，n〉＝＝＝.
6、m
7、
8、n
9、2＋1·136所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为.3二、利用线面垂直关系构建直角坐标系2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例2.如图所示，AF、DE分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是圆O的直径，ABAC6,OE//AD.(I)求二面角BADF的大小；(II)求直线BD与EF所成的角的余弦值.1
10、9.解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，0依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝45.0即二面角B—AD—F的大小为45；(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，32，0），B（32，0，0）,D（0，32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）所以，BD(32,32,8),FE(0,32,8)BDFE0186482cosBD,EF
11、BD
12、
13、FE
14、100821082设异面直线BD与EF所成角
15、为，则cos
16、cosBD,EF
17、直线BD与EF所成的1082角为余弦值为．10三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3（2013年重庆数学（理））如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD,F为PC的中点,AFPB.3(1)求PA的长;(2)求二面角BAFD的正弦值.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【答案】解：(1)如图，联结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，→→→故AC⊥BD.以O为坐标原点，OB，O
18、C，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立ππ空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin33＝3，故A(0，
