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《空间向量与立体几何(建系途径).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量与立体几何建立空间直角坐标系的途径途径一：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．垂直线线垂直线面垂直面面垂直1、如图，在长方体ABCDEA1B1C1D1xyz中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。（1）证明：；（2）求平面的一个法向量及单位法向量。解：设，则，，，，。（Ⅰ）证明：由，，，有，于是。（Ⅱ），。设平面的法向量为，单位法向量为，由，解得。于是。2、如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，
2、AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。16ABCDEFxyzP图5法1：（Ⅰ）证明：取PA中点G，连结FG，DG，。法2：证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，。由，得，即，同理，又，所以，EF平面PAB。（Ⅱ）解：由，得，即。得，，。有，，。设平面AEF的法向量为，由，解得。于是。设AC与面AEF所成的角为
3、，与的夹角为。16则。3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.,,求出平面A1MC的一个法向量为:,又,,求出平面A1BD1的一个法向量为:,,,即平面A1MC平面A1BD1.4、在正三棱锥ABC－A1B1C1中，，求证：.16途径二：利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱
4、柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．5、如图，在正四棱锥中，,求二面角的余弦值.解：设二面角的平面角为，平面的法向量为.设平面的法向量为,..6、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱，，，为的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小。方法1：作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.16途径三利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以
5、利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．7、在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB等边三角形.求二面角B—AC—P的余弦值。解（1）建立如图的空间直角坐标系O—xyz，则A（－1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）设为平面PAC的一个法向量，则又令z=1，得得又是平面ABC的一个法向量，设二面角B—AC—P的大小为，则8、如图，在三棱锥中，，，平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求异面直线和所成
6、角的正弦值.解：作于点，平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系...，.（Ⅰ）证明.又.16（Ⅱ）解作于点，连结.平面，根据三垂线定理得，是二面角的平面角.在中，，从而，。（Ⅲ）解，，·异面直线和所成角的正弦值为平行于垂直证明A1C1CBAB1一、平行169、已知正三棱柱ABC－A1B1C1，D为AC中点。求证：直线AB1∥平面C1DB；二、求角10、如图在直三棱柱点是的点求异面直线与所成角的余弦值解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系则∴[]∴∴异面直线
7、与所成角的余弦值为11、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角的余弦值.解(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450.(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），
8、A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，.12、如图，在三棱锥中，，平面平面，于点，，16，．（1）证明△为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明1：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．…………………………………………………………………………………
