立体几何(向量法)—建系难.doc

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1、立体几何（向量法）—建系难例1（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.【答案】解：(1)如图，联结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．因PA⊥底面ABCD，可设P(0，

2、－3，z)，由F为PC边中点，得F，又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2(舍去－2)，所以

3、

4、＝2.(2)由(1)知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为2＝(x2，y2，z2)．由1·＝0，1·＝0，得因此可取1＝(3，，－2)．由2·＝0，2·＝0，得故可取2＝(3，－，2)．从而向量1，2的夹角的余弦值为cos〈1，2〉＝＝.故二面角B－AF－D的正弦值为.例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如

5、图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明:(II)求二面角的大小.【答案】解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，

6、连FG.则FG∥CD，FG⊥PD.联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．联结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝2，EG＝PB＝1，故AG＝＝3，在△AFG中，FG＝CD＝，AF＝，AG＝3.所以cos∠AFG＝＝－.因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设

7、

8、＝2，则A(－，0，0)，D(0，－，0)，C(2，－，0)，P(0，0，)

9、，＝(2，－，－)，＝(0，－，－)，＝(，0，)，＝(，－，0)．设平面PCD的法向量为1＝(x，y，z)，则1·＝(x，y，z)·(2，－，－)＝0，1·＝(x，y，z)·(0，－，－)＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝(0，－1，1)．设平面PAD的法向量为2＝(m，p，q)，则2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，2·＝(m，p，q)·(，－，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝(1，1，－1)．于是cos〈，2〉＝＝－.由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以

10、二面角A－PD－C的大小为π－arccos.例3（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角

11、．因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此＝，即AA＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2.从而A1D＝＝2.所以，在Rt△A1DD1中，cos∠A1DD1＝＝＝.解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.设直三棱柱的高为h，则A(

12、－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，