立体几何(向量法)—建系讲义.doc

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1、立体几何(向量法)—建系引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算,而如何建立恰当的坐标系,成为用向量解题的关键步骤之一.所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1(2012高考真题重庆理19)(本小题满分12分如图,在直三棱柱中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点(Ⅰ)求点C到平面的距离;(Ⅱ)若求二面角的平面角的余弦值.【答案】解:(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB.又CD⊥AA1,故C

2、D⊥面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==.(2)解法一:如图,取D1为A1B1的中点,连结DD1,则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此=,即AA=AD·A1B1=8,得AA1=2.从而A1D==2

3、.所以,在Rt△A1DD1中,cos∠A1DD1===.解法二:如图,过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1两两垂直.以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,,0),C1(0,,h),从而=(4,0,h),=(2,,-h).由⊥,有8-h2=0,h=2.故=(-2,0,2),=(0,0,2),=(0,,0).设平面A1CD的法向量为m=(x1,y1,z1),则m⊥

4、,m⊥,即取z1=1,得m=(,0,1),设平面C1CD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n⊥,n⊥,即取x2=1,得n=(1,0,0),所以cos〈m,n〉===.所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为.二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示,、分别是圆、圆的直径,与两圆所在的平面均垂直,.是圆的直径,,.(I)求二面角的大小;(II)求直线与所成的角的余弦值.19.解:(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角,依题意可知,ABCD是正方形,所以∠BAD=450.

5、即二面角B—AD—F的大小为450;(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,,0),B(,0,0),D(0,,8),E(0,0,8),F(0,,0)所以,设异面直线BD与EF所成角为,则直线BD与EF所成的角为余弦值为.三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3(2013年重庆数学(理))如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.【答案】解:(1)如图,联结BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD.以O

6、为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CDcos=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3.又OD=CDsin=,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0).因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,得F,又=,=(,3,-z),因AF⊥PB,故·=0,即6-=0,z=2(舍去-2),所以

7、

8、=2.(2)由(1)知=(-,3,0),=(,3,0),=(0,2,).设平面FAD的法向量为1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为2=(x2,

9、y2,z2).由1·=0,1·=0,得因此可取1=(3,,-2).由2·=0,2·=0,得故可取2=(3,-,2).从而向量1,2的夹角的余弦值为cos〈1,2〉==.故二面角B-AF-D的正弦值为. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线,投影构建直角坐标系例4-1(2013大纲版数学(理))如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明:(II)求二面角的余弦值.【答案】解:(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.联结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,

10、所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥

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