数学分析习题答案.pdf

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1、第一章集合与映射习题1.1集合⒈证明由个元素组成的集合nnTa={，，a"，a}有2个子集。12nnkknn解由k个元素组成的子集的个数为Cn，∑Cn=(1+1)=2。k=0⒉证明：(1)任意无限集必包含一个可列子集；(2)设A与B都是可列集，证明A∪B也是可列集。证（1）设T是一个无限集，先取a1∈T。由于T是无限集，必存在a2∈T，a2≠a1。再由T是无限集，必存在a3∈T，a3≠a1，a3≠a2。这样的过程可以无限进行下去，于是得到可列集S={a1,a2,",an,"}，S⊂T。（2）设A={}a1,a2,",an,"，B={b1,b2,",bn

2、,"}，则A∪B可表示为AB∪={}a1,b1,a2,b2,",an,bn,"。⒊指出下列表述中的错误：(1){}0=∅；(2)a⊂{,ab,c}；(3){,ab}∈{,ab,c}；(4){,ab,{ab,}}={,ab}。解（1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集。（2）a是集合{,ab,c}的元素，应表述为a∈{,ab,c}。1（3）{a,b}是集合{,ab,c}的子集，应表述为{a,b}⊂{,ab,c}。（4）{a,b,{a,b}}是由a,b和{,ab}为元素构成的集合，所以{a,b,{a,b}}⊃{,ab}，但{a,b,{a,b}}≠{,ab

3、}。⒋用集合符号表示下列数集：x−3(1)满足≤0的实数全体；x+2(2)平面上第一象限的点的全体；(3)大于0并且小于1的有理数全体；(4)方程sinxcotx=0的实数解全体。解（1）{}x

4、−2

5、x>0且y>0。（3）{}x

6、0

7、x=kπ+,k∈Z⎬。⎩2⎭⒌证明下列集合等式：(1)AB∩∪()D=(A∩B)∪(A∩D)；CCC(2)()AB∪∩=AB。证（1）设x∈A∩(B∪D)，则x∈A，并且或者x∈B，或者x∈D。于是或者x∈A∩B，或者x∈A∩D，即x∈(A∩B)∪(A∩D)

8、，因此A∩(B∪D)⊂(A∩B)∪(A∩D)；设x∈(A∩B)∪(A∩D)，则或者x∈A∩B，或者x∈A∩D。于是x∈A，并且或者x∈B，或者x∈D，即x∈A∩(B∪D)，因此A∩(B∪D)⊃(A∩B)∪(A∩D)。2CCC（2）设x∈(A∪B)，则x∈A∪B，即x∈A且x∈B，于是x∈A∩B，因此CCC(A∪B)⊂A∩B；CCC设x∈A∩B，则x∈A且x∈B，即x∈A∪B，于是x∈(A∪B)，因此CCC(A∪B)⊃A∩B。⒍举例说明集合运算不满足消去律：(1)AB∪=A∪C≠>B=C；(2)AB∩=A∩C≠>B=C。其中符号“≠>”表示左边的命题不能

9、推出右边的命题。解（1）设A={a,b,c}，B={b,c,d}，C={c,d}，则AB∪=A∪C，但B≠C。（2）设A={}a,b,c，B={}c,d,e，C={c,d}，则AB∩=A∩C，但B≠C。⒎下述命题是否正确?不正确的话，请改正。(1)x∈A∩B⇔x∈A并且x∈B；(2)x∈A∪B⇔x∈A或者x∈B。解（1）不正确。x∈A∩B⇔x∈A或者x∈B。（2）不正确。x∈A∪B⇔x∈A并且x∈B。3习题1.2映射与函数1.设S={α,β,γ},T={,abc,}，问有多少种可能的映射f：S→T?其中哪些是双射?3解有3=27种可能的映射，其中有3!

10、=6种是双射，它们是⎧α6a⎧α6a⎧α6b⎧α6b⎧α6c⎧α6c⎪⎪⎪⎪⎪⎪f:⎨β6b，f:⎨β6c，f:⎨β6c，f:⎨β6a，f:⎨β6a，f:⎨β6b。⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩γ6c⎩γ6b⎩γ6a⎩γ6c⎩γ6b⎩γ6a2.(1)建立区间[,ab]与[,01]之间的一一对应；(2)建立区间(,01)与(,−∞+∞)之间的一一对应。解（1）f:[a,b]→[0,1]x−ax6y=；b−a（2）f:(0,1)→(−∞,+∞)1x6tan(x−)π=−cot(πx)。23.将下列函数f和g构成复合函数，并指出定义域与值域：(1)2yf=()u=logu,

11、u=g()x=x−3;a(2)xyf=()u=arcsinu,u=g()x=e；(3)2yf=()u=u−1,u=g()x=secx；x−1(4)yf=()u=u,u=g()x=。x+12解（1）y=loga(x−3)，定义域：(−∞,−3)∪(3,+∞)，值域：(−∞,+∞)；x⎛π⎤（2）y=arcsin3，定义域：(−∞,0]，值域：⎜0,⎥；⎝2⎦⎛ππ⎞（3）y=tanx，定义域：∪⎜kπ−,kπ+⎟，值域：[0,+∞)；k∈Z⎝22⎠4x−1（4）y=，定义域：(−∞,−1)∪[1,+∞)，值域：[0,1)(∪1,+∞)。x+14.指出下列

12、函数是由哪些基本初等函数复合而成的：1132(1)y=arcsin;(2)yx=log(−1)