数学分析-习题及答案

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1、1．计算积分，解:令则.2.若为右半单位圆周，求。解:的方程为：。由，符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故而在圆弧段上，由于，故所以。3.解:。当时，由于，故为连续函数且具连续导数，从而可在积分号下求导。。于是，当时，（常数）。但是，，故，从而。4:讨论积分在每一个固定的处的一致收敛性。解:设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，由于5，且积分收敛，故由Weierstrass判别法知积分在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有。由于，故取，在中必存在某一个

2、，使有，即因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收5:求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。解:设，。它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为和,，。所以曲线在处的切线方程为：，即法平面方程为，即。6.为上半椭球面定向取上侧.解:利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为易得因此57.若及证明不等式证明:考虑函数在条件下的极值问题，设解方程组可得从而如果时，则结论显然成立.8．证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛.证明:首先证在上一致收敛.由于因而一致有界，而是的单调减少函数且由于与无关，因此这个极限关于是一致的，于是由Dirichlet判别

3、法知在上一致收敛.再证在上非一致收敛.对于正整数，取，这时只要取则对于任意总存在正整数满足取，这时成立由Chauchy收敛原理知在上非一致收59。求，此处为联结三点的直线段。解:。在直线段上得在直线段上得在直线段上得所以。10.计算二重积分。其中是以.为边的平行四边形。解:.11．计算三重积分。其中是椭球体。解:由于，其中，这里表示椭球面或。它的面积为。于是同理可得，。所以。12．计算含参变量积分的值。解:因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当5时，，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得。从而得。13.已知.确定二阶偏导数与

4、的关系解:当时.。，，于是，当时。当时，14．讨论积分的敛散性。解:首先注意到。若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上是递增的。于是，正整数，有常数，故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。5