2、.由单调有界定理，存在且an<^n=1,2,…又因b”=（久-a”）+d”，而忠"7）=°,故limb“=lim（/?n-aH）+liman=0+g=g"TS刀一>oc；且因｛仇｝递减,必使S-匸・这就证得©w仇］'川=1,2,…最后，用反证法证明如此的L惟一.事实上，倘若另有一个久］,"=1,2,…，则由
3、g-了
4、<（仇-）T0（"T00）,导致与I匕一&I〉。相矛盾.I证毕］）欲证：｛乙｝存在极限［证］证明思想：设法构造一个区间套使其公共点g即为｛心｝的极限.a［+/?［_a11b1再记一2如此无限进行下去,,同理取「［f［a2>c2］,
5、若5为｛兀“｝的上界；如，6=2l［c2,fr2］,若C2不为｛心｝的上界.得一区间套｛［。“，仏］｝.北丘［弔，hn］,n=1,2,••-（lima”=^=limbn）«—>O0M—>00•下血用数列极根据区间套定理，限定义证明舸/gVs>0,一方面,由于S（kwN）恒为｛"｝的上界,因此，并取Xfn.keN,xnxnK时，
6、d*-g=-akaK«->oo；而由区间套的构造，任何％不是｛©｝的上界，故玉N>你>g-£；再由｛©｝为递增数列,当/?>N时，
7、必有X”>^-£.这样，当n>N时，就有g-£8、a>°和80>0?使得丨/⑴
9、WA7,xwU（Xo；&o）.［证］据/在勺连续的定义，Ve>0,35>0,''ixeUCxo^）时，满足
10、/（x）-/（x0）
11、<£现取£=1,相应存在5«〉°，半兀丘U（x0；50）时，就有f证毕］fM
12、-
13、/(x0)II/(X)I<
14、.心)1+1=M/（兀）在（
15、Q,b）上连续，且注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等.例5证明/W在（Q，〃）上一致连续的充要条件是:Hm/(x)兀一>b-0［证］先证充分性：令/U),xe(a,/?),lim/(x),XTd+0您/(Ex=a,x=b.由条件可知g（无）在【上连续，从而g⑴在I。，方］上一致连续（由连续函数在闭区间上的整体性质）.再由一致连续的定义，又知gW在（Q，b）上也一致连续.而在（d,方）上g（龙）=/（无），所以证得/（兀）在（Q"）上一致连续.再证必要性：由/（力在（。，方）上一致连续的定义，Ve>0,38>0
16、,当时，有x',xng(a,b)H.xr-xr,<5因此，特别当5"w（a，a+&）或（b-b,b）时，同样f（x,）-f（xn）°+（）或时/（兀）存在极限的柯西条件得到满足，所以证得limf（x）limf（x）都存在.［证毕］注由例3结论，易证：若/（兀）在（Q，b）上一致连续，则/⑴在（V"）上必定有界.这是因为上面证明屮已知£（力在【。，方］上连续，从而&（力在丨久方］上有界，故£。）在（a，b）上也有界；而在（a，方）上gW=f（x）,所以知道/⑴在（讥）上有界.对于一般在（。"）上的连续函数/⑴，它在（。，“
17、）上不一定有界.例如"V在如）上处处连续，但它在（I）上是无界的.由此又可说明在（（），1）上必定不一致连续.例6试求下列函数的导数：f(x,y)=eAysing,
