数学分析课后习题答案18.4.pdf

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1、1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：22（1）f(x,y)=x+y,若x+y−1=0;4（2）f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c（其中x,y,z,t,>0,c>0）；222（3）f(x,y,z)=xyz，若x+y+z=1,x+y+z=0.22解(1)设L(x,y,λ)=x+y+λ(x+y−1)对L求偏导数,并令它们都等于0,则有L=2x+λ=0,xLy=2y+λ=0,L=x+y−1=0.z1解之得x=y=,λ=−1.由于当x→∞,y→∞时,f→∞.故函数必在唯一稳定点处2111取得极小值,极

2、小值f(,)=.2224(2)设L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt−c)且Lx=1+λyzt=0,L=1+λxzt=0,yLz=1+λxyt=0,L=1+λxyz=0,t4L=xyzt−c=0,λ解方程组得x=y=z=t=c.由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c,c,c,c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c,c,c,c)=4c.222(3)设L(x,y,z,λ,u)=xyz+λ(x+y+z−1)+u(x+y+z),并令Lx=yz+2λx+u=0,L=

3、xz+2λy+u=0,yLz=xy+2λz+u=0,222L=x+y+z−1=0,λL=x+y+z=0,u解方程组得x,y,z的六组值为:121111x=x=−x=x=−x=x=−666666112122y=,y=,y=−,y=−,y=−y=.666666211211z=−z=z=z=z=z=−666666又f(x,y,z)=xyz在有界闭集222{(x,y,z)

4、x+y+z=1,x+y+z=0}上连续,故有

5、最值.因此,极小值为1122111f(,,−)=f(−,−,)=−,66666636极大值为1122111f(−,−,)=f(,−,−)=.666666362.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体。2解：（1）设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，表面积为a(a>0)，2则体积为f(x,y,z)=xyz，限制条件为2(xy+yz+xz)=a。2设L(x,y,z,λ)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)−a]Lx=yz+2λ(y+z)=0,L=xz+2λ(x+z)=0,y并令L=xy+

6、2λ(x+y)=0,zL=2(xy+yz+xz)−a2=0,λa解得x=y=z=。63aaaa因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值f(,,)=。66666故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体.（2）设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，体积为V,则表面积f(x,y,z)=2(xy+yz+xz),限制条件:xyz=V.设L(x,y,z,λ)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz−V)Lx=2(y+z)+λyz=0,Ly=2(x+z)+λxz=0,3并令解得x=y=z=VL=2(x+y)+λxy=0

7、,zL=xyz−V=0,λ故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.3.求空间一点(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.0002222解:由题意,相当于求f(x,y,z)=d=(x−x)+(y−y)+(z−z)在条件000Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.设L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ(Ax+By+Cz+D)且Lx=2(x−x0)+λA=0,(1)Ly=2(y−y0)+λB=0,(2)L=2(z+z)+λC=0,(3)z0L=Ax+

8、By+Cz+D=0,(4)λλλλ由(1),(2),(3)得x=x−A,y=y−B,z=z−C.0002222(Ax+By+Cz+D)000代入(4)解得λ=.222A+B+C所以22212222Ax0+By0+Cz0+D(x−x)+(y−y)+(z−z)=λ(A+B+C)=0002224A+B+CAx+By+Cz+D000故d=为所求最短距离.222A+B+C4.证明:在n个正数的和为定值条件x+x++x=a下,这n个正数的乘积xxx的12n12nan最大值为.并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值nnx+x+

9、+xn12nxxx≤.12nn证:设f(x,x,x)=xxx,12n12nL(x,x,x,λ)=f(x,x,x)+λ(x+x++x−a),(x,x,,x>0),12n12n12n12nLx1=x1x2xnx1+λ=0,L=xxxx+λ=0,