2、A,cc"XTC*据导函数的特征,即知尸(c)=/(c)。因ffijF(x)是/(兀)在(询上的原函数。3.试证明下列命题：(1)(函数方程)设土(兀)是(-°°,+00)上的可微函数,且满足/(x+y)=/(H+/b)+2®x,ye(―oo,+oo),则/(x)=x2+r(0)x；(2)设/(x)在岡上连续，在仏b)内可微，且/(a)=/(&)=0o则对V^x)eCM，冇兵(询,使得广(§)+0(§)/(§)=0。证⑴取兀=y=o可得y(0)=2/(0)
3、=>/(0)=0o将原式改写成为/(兀+刃-/(兀)y可得r(x)=limAf±lWW=lin?b)—/(°)+2"2x+广(0),'7ZyDy'7由此知fx)dx=J[2x+广(0)]必=/+厂(o).尢+C,即f(x)的一般表达式为/(x)=x2+/，(0)-x+C；（2）因为0（x）连续，所以存在原函数，记为①（x）,则作F（x）=0叭/（兀）。依题设易知,F（x）eC［a.b］且在仏b）可微。又F⑷二F0）=O。由洛尔中值定理知,存在Jw（a,b）,使得尸（§）=e咗）［厂（§）+0（。/（釦=0»厂（§）+飒厂/（§）=0。3.设.£（/）在（-
4、8,2）上可导，若有(“y)，厂x+y］二于（）'）_于（兀）I2丿.y-x试证明/（x）=ax2+fex+c；证以x+y,x-y替换y,兀可得厂（X二［/（兀+）'）一/0一〉'）］'2y°在上式两端对x求导，我们有y［厂（兀+刃+/©-刃］一［/（尢+刃一/（尢一刃］=0‘再对y求导，我们冇厂（兀+刃+厂（兀一y）++y）-f->'）］-［广（兀+$）+/©—y）~=o,由此可知厂（兀+刃=厂（兀_y）,从而得到r（2x）=r（o）rw=r（o）o因此f(x)=ax1+/zr+c；5.设/(X)GCW((-oo,+oo))且不恒为零。若有辱/(尢)=()
5、，/(尢)/(y)=/("+),)(兀,)乍(-00,+00)),试证明(i)y(o)=i,/(x)是偶函数;0),贝ij/(x)/So)=+*：)=/(-兀)/(如)=>/(%)=/•(-%)，即/⑴是偶函数。此外，由/(O)/(xo)=/(xo)=>/(O)=l；(“)记r=y/x2+y2,则在/(%)/(>')=/(r)中对y求导，可知.f(兀).厂(刃=•厂(厂”：。再对y求导知/(x)/"b)=r(r)«)2+F(r)•<，2因为<=斗，所以(取y=0)广⑴=厂(0)#⑴，治=厂(0)兀，•
6、O厂(0)疋由此即得f(x)=e~^0注意至IJ/⑴t0(卜
7、t+oo),我们有(‘°)=fv0(q>0),最后得/(x)=e~axl0二、定积分部分1・证明:若/在［d,b］上连续非负，且不恒为零，求证
8、f(x)dx>0•证设存在x0g使得/(xo)>O,il
9、连续函数的局部保号性得，存在/>0且f(xU(兀0;5)uG，方)，对任意的XG［/(XO;5),有/(X)>厶3>0・ff(x)dx>=/(x0)-J>0.如果%()=a^b，使得/(x0)>0,则考虑x0的半邻域，证法类似.1.证明由积分确定的连续函数零点定理：设.f(x)在［⑦引上连续，若兀=
10、(),则3x0€(a,b),使得/(xo)=O.证用反证法.若对V兀(兀)工()川
11、连续函数的零点定理可知J®在［a,引上不变号•不妨设在［a,b］±f(x)>Of由定积分的性质可得［f(x)dx>0』匕与条件矛盾,于是,必3%og(a,b),使得f(xo)=O.2.证明积分中值定理的加强形式,即:设/(%)与讥兀)在［d,b］上连续，且g(x)在［a,b］上不变号，则一定非使得证因为/(%)与g(x)在［a,b］±连续，且g(兀)在［a,b］上不变号，不妨设在［a,b］±g(x)>0,由闭区间上连续函数的最大最小值定理，有加=min/(x),M=max/(x
12、)3s是xe［a.h］xe［aj>］吨
