数学分析函数项级数课后习题答案

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1、§11.11.解：（1）由于，所以于是，，因此，，（2）由于对，有，又，故，于是，，⑶解：，故在上不一致收敛。⑷解：令，故得为唯一极大值，从而是最大值，，故一致收敛。⑸解：法一，直接有和函数的连续性，可知在上不一致收敛。法二，取，故不一致收敛。⑹解：，又，（7）由于，，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。（8）设，则是正项级数，且有，即收敛，而对，有故由判别法知：在上一致收敛。（9）当时，有，且，因此级数收敛，由判别法知：在上一致收敛。⑽解：记，取，，故不一致收敛。2.证明：由于，，即，，当时，有，故有，，即，，3.证明：因为在处连续

2、，所以对，，当时，有，即，又对，当时，对一切，有，所以对，，当时，对一切，有所以在上一致收敛于0.4.（1）证明：由于，，且，即单调一致有界。又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同时在上连续，从而在上亦连续，故（2）证明：由于，且，即单调一致有界。又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同时在上连续，从而可知在上连续。故5.证明：由于，而收敛，即在上一致连续，又易知在上连续，故在上连续。又由于，而，可推出在上亦一致收敛，且在上连续，故，从而知：在上连续。6.⑴证明：因此.在区间上而连续，，

3、故在区间上一致有界，，在区间上一致有界。在区间上，单调递增，且因为因此收敛，又，收敛，故一致收敛，故由Abel判别法可知在区间上一致收敛，在区间上一致收敛，故在区间上连续。（2）略7、证明：由，在上单调增加得，所以，，又和收敛，所以收敛。由魏尔斯特拉斯判别法知，在上一致收敛。设收敛到，由级数收敛定义得，使得当时，，（1）设在上一致收敛到，则存在仅与上述有关的正整数，当时，有。对上述，取，由（1）(2)得即一致收敛到。§11.21.（1）因为，收敛半径，而当时，均发散，故的收敛域为（2）因为，收敛半径，而当时，级数是收敛的。故的收敛区

4、域为。（3）令，则,因为所以级数的收敛半径为2，故级数的收敛半径为，而当时，级数是收敛的。故其收敛区域为。(4)因为，收敛半径，而当时，级数的通项有，当时，，即级数发散；当时，由于，即由拉贝尔判别法知发散。故的收敛区域为（5）作变换：，则原级数为，由于，即原级数的收敛半径，收敛区域为。⑹解：，因此收敛域为。⑺解：令，收敛区间。当发散，当由Leibiniz判别法（交错级数）得收敛。因此收敛域。⑻解：当收敛发散，因此收敛域为。2.解:（1）设=++，则该级数的收敛域为（-1,1）。即++的和函数==。，其中=。而===。=（）=，故=，

5、（2）由题知：=，即该级数收敛半径R=1，而当时，级数是发散的，故该级数的收敛域为（-1,1），因此，，有（3）设，则由=1.则收敛半径R=1，而当时，级数和都收敛，故的收敛域为。设==。，则有=（）===,从而==-In（1-t），=-In（1-t）=（1-）In（1-）+，故的和函数=(4)由于该级数的收敛域为（-1,1），即该级数的和函数=，，故=（）=（）==，3.证明：⑴由于当时，逐项积分得。又收敛，故在处左连续，于是有：⑵又当时有，且收敛，从而由⑴可得：4.证明：⑴收敛域为，又当时，收敛。所以收敛域为，幂级数在内一致收敛

6、，又在连续，从而其和函数在上连续。当时，，收敛半径，收敛区间为；当时，收敛；当时，发散。故在上可导。（2）不存在。令，由罗必塔法则：上式=§11.31.由于在内按段光滑，即可展开为傅里叶级数，其中：;;；故。由于是按段光滑的，即又展开为傅里叶级数，其中：；；；故由于；；故，。2、解：为了将展开称为余弦级数，对做偶函数周期延拓，此时的傅里叶系数由傅里叶级数收敛定理得，的傅里叶级数展开式为，令代入上式，得，化简整理得，。3、设以为为周期且具有二阶连续的导函数，证明的傅里叶级数在上一致收敛于。证明：设，由于在上具有二阶连续导函数，知在上可

7、积，又因为的傅里叶系数与的傅里叶系数的关系是故由贝塞尔不等式，知级数收敛，且级数也收敛，由比较原则知，级数收敛，所以的傅里叶级数在上一致收敛于。4、设为上的可积函数，证明：若的傅里叶级数在上一致收敛于，则成立：，这里为的傅里叶系数证明：设，，从而由于在上可积知，在上有界，由于在上一致收敛，故在上一致收敛，因此