数学分析课后习题答案14.1

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1、第一节幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：n2nx(n!)n（1）∑nx；（2）∑2n；（3）∑x；n⋅2(2n)!2n−1nnn2n(x−2)3+(−2)n（4）∑rx(0

2、2n2nn1x数∑2收敛，所以级数∑2n在x=±2也收敛，于是这个级数的收敛区域为[−2,2]。nn⋅222an+1[(n+1)!](2n)!(n+1)an+11（3）由于=⋅=，所以lim=，收敛半径R=4，2a[2(n+1)]!(n!)(2n+2)(2n+1)n→∞a4nn2(n!)n但当x=±4时，这个级数为∑(±4)，通项记为un，则有(2n)!2n22n(n!)4(n!)22⋅4⋅62nu===>2n+1，于是limu=+∞，所以当nn(2n)!(2n)!1⋅3⋅5(2n−1)n→∞2(n!)nx=±4时级数∑x发散，从而可知这个级数的收敛区域为(−4,4)。(2n)!nn

3、2（4）由于limr=0，所以收敛半径R=+∞，这个级数的收敛区域为(−∞,+∞)。n→∞1（5）由于limna=limn=0，所以收敛半径R=+∞，于是这个级数的收敛区nn→∞n→∞(2n−1)!域为(−∞,+∞)。nn3+(−2)1（6）由于limna=limn=3，所以收敛半径R=，因而级数nn→∞n→∞n3nn3+(−2)n1424∑(x+1)的收敛区间为x+1<，即(−,−)，当x=−时，级数为n3333nnnn3+(−2)1n1122∑−=∑(−1)+收敛，当x=−时，级数为n3nn33nn221+−1+−331

4、1∑，而由于～(n→∞)且∑发散，故此时原级数发散，于是nnnnnn3+(−2)n41可得级数∑(x+1)的收敛区域为−,−。n33111（7）因为nn⋅≤n1+++≤nn⋅1，又limnn⋅1=1，所以n2nn→∞11limn1+++=1，从而收敛半径R=1，又当x=±1时,n→∞2n11n11nlim(1+++)(±1)≠0，可见级数∑(1+++)x在x=±1时发散，故这个级n→∞2n2n数的收敛区域为(−1,1)。0,x<1(n+1)2nx2n+1an+1x21（8）因为lim=limn+1⋅n2=lim=,x=1n→∞an→∞2xn→∞22n+∞,

5、x>1所以收敛半径R=1，收敛区域为[−1,1]。2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：352n+1xxx（1）x+++++；352n+123n（2）x+2x+3x++nx+；2n（3）1⋅2x+2⋅3x++n⋅(n+1)x+∞∞2n+111(−1)解：（1）因为limna=lim2n+1=1，且x=±1时，∑与∑都是nn→∞n→∞2n+1n=02n+1n=02n+1发散级数，所以幂级数的收敛区域为(−1,1)，设其和函数为f(x)，于是当x<1时，逐项'242n1求导数可得f(x)=1+x+x++nx+=，所以，21−xx11

6、1+xf(x)=dt=ln（x<1）∫01−t221−x（2）由于limna=limnn⋅1=1，且当x=±1时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛nn→∞n→∞区域为(−1,1)，设其和函数为f(x)，则∀x∈(−1,1)∞∞23nn−1n−1f(x)=x+2x+3x++nx+=x⋅∑nx=x⋅g(x)g(x)=∑nxn=1n=1∞∞xxxn−1n因为当x<1时，∫0g(t)dt=∫0∑ntdt=∑x=n=1n=11−xx'1x所以g(x)=()=，从而f(x)=（x<1）221−x(1−x)(1−x)a(n+1)(n+2)n+2n+1（3）因为lim=lim=lim=1，且当x=±

7、1时，这个级数发散，n→∞an→∞n(n+1)n→∞nn所以幂级数的收敛区域为(−1,1)，设其和函数为f(x)，则∞nf(x)=∑n(n+1)x，∀x∈(−1,1)n=1∞1xxxnn因而∫0f(t)dt=∫0∑n(n+1)tdt=∑∫0n(n+1)tdtn=1n=1∞2nx=x∑nx=2（x<1）n=1(1−x)222x'(1−x)2x+x2(1−x)2x所以f(x)=[]==（x<1）243(1−x)(1−x)(1−x)∞∞n