数学分析课后习题答案3.1.pdf

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1、第三章函数极限§1函数极限概念1、按定义证明下列极限:6x+52(1)lim=6;(2)lim(x−6x+10)=2;x→∞xx→22x−52(3)lim=1;(4)lim4−x=0;x→∞x2−1x→2(5)limcosx=cosx0x→x06x+555证:(1)当x>0时,−6=,于是对任给正数ε,只要取M=,当x>M时,有xxε6x+56x+5−6<ε.故lim=6xx→∞x(2)当0

2、10)−2<ε,32故lim(x−6x+10)=2.x→22x−544(3)当x>2时,−1=<.2x−1x−1x+1x24x−5对任给正数ε,只要取M={2,},当x>M时,便有−1<ε,2εx−12x−5故lim=1.x→∞x2−12(4)设x∈[1,2),则4−x=2+x⋅2−x≤22−x.2ε2∀ε>0,取δ=,则当0<2−x<8,即1−δ

3、imcosx=cosx0x→x0故limcosx=cosx.0x→x02、参照定义2正面陈述limf(x)≠A.x→x00解:设函数f在点x的某空心邻域U(x,δ′)内有定义,A是一个确定的常数.若存在某个00正数ε,使得对任意的正数δ,总存在x′,满足0

4、h)−x<δ,于是f(x+h)−A<ε,000故limf(x+h)=A.0h→0反之,设limf(x+h)=A,则对任给正数ε,存在正数δ,当0

5、)=A.x→x0但逆命题不真.−1,x>01,x≠0如对f(x)=0,x=0,有f(x)=0,x=01,x<0且limf(x)=1,但limf(x)不存在.x→x0x→x05、证明定理3.1定理3.1limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A.x→xx→x+x→x−000证:必要性设limf(x)=A,则对任给正数ε,存在正数δ,当0

6、x→x0充分性设limf(x)=limf(x)=A,则对任给正数ε,分别存在正数δ和δ,+−12x→x0x→x0使得当00x(1)f(x)=;(2)f(x)=[x];(3)f(x)=0,x=0x21+x,x<0x解:(1)当x>0时,f(x)==1,故limf(x)

7、=1.+xx→x0x当x<0时,f(x)==−1,故limf(x)=−1,−xx→x0因此limf(x)不存在.x→0(2)当1>x>0时,f(x)=[x]=0,故limf(x)=0.+x→x0当−10时,f(x)=2,故limf(x)=lim2=1.++x→0x→022当x<0时,f(x)=1+x,故limf(x)=lim(1+x)=1.−−x→0x→0因此limf(x)=1.x→017.证明:limf(x)=limf().+x→∞x→0x1证

8、:设limf(x)=A,