数学分析课后习题答案20.1

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1、1.计算第一型曲线积分:(1)∫(x+y)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形.L1(2)(x2+y2)2ds,其中L是以原点为中心,R为半径的右半圆周;∫L22xy(3)xyds,其中L为椭圆+=1在第一象限中的部分;∫L22ab22(4)∫Lyds,其中L为单位圆周x+y=1;222(5)∫(x+y+z)ds,其中L为螺旋线x=acost,y=asint,z=bt(0≤t≤2π)的一段;L2312(6)∫Lxyzds,其中L是曲线x=t,y=2t,z=t(0≤t≤1)的一段;32222222(7)∫2y+zds,其中L是x+y+z=a与x

2、=y相交的圆.L解(1)∫L(x+y)ds=∫OA(x+y)ds+∫AB(x+y)ds+∫BO(x+y)ds111=∫0xdx+∫02dx+∫0ydy=1+2.(2)右半圆周的参数方程为:ππx=Rcosθ,y=Rsinθ.(−≤θ≤)22从而1π(x2+y2)2ds=2R2dθ=πR2.∫L∫−π2b22−bx(3)因为y=a−x,y′=,从而aa2−x2ab222∫Lxyds=∫0xa−x1+(y′)dxa22ab22bx=xa−x1+dx∫0aa2(a2−x2)2ba22b22=a−x+xdx2a∫0a2ba42222=a−(a−b)xdx2a2∫022ab(a+ab+

3、b)=.3(a+b)(4)由于圆的参数方程为:x=acosθ,y=asinθ(0≤θ≤2π),从而π2π∫Lyds=∫0sinθdθ−∫πsinθdθ=4.(5)2π22222222222222∫(x+y+z)ds=∫(a+bt)a+bdt=π(3a+4πb)a+b.L03123122(6)∫Lxyzds=∫0t⋅2t⋅t1+2t+tdt32219/2162=∫t⋅(1+t)dt=.30143x=y(7)其截线为圆,其参数方程为2222y+z=aax=y=sint,z=acost,(0≤t≤2π),于是22π2222222∫2y+zds=∫aasint+acostdt=

4、2aπ.L0122z2.求曲线x=a,y=at,z=at(0≤t≤1,a>0)的质量,设其线密度为ρ=.2a解曲线质量为:2z1222a122aM=∫Lds=∫0ta+atdt=∫01+td(t+1)=(22−1).a23x=a(t−sint),3.求摆线(0≤t≤π)的重心,设其质量分布是均匀的.y=a(1−cost)解因为2222tds=a(1−cost)+asintdt=2asindt.2πt所以M=2aρsindt=4aρ.故重心坐标为0∫0021πtx=ρa(t−sint)2asindt∫0M02aπtaπt=∫tsindt−∫sintsindt202202t

5、ππtaπ3tt4=−atcos

6、+acosdt+(cos−cos)dt=a.0∫0∫02242231πty=ρa(t−cost)2asindt∫0M02aπtaπ3tt4=∫sindt−∫(sin−sin)dt=a.202402234.若曲线以极坐标ρ=ρ(θ)(θ≤θ≤θ)表示,试给出计算f(x,y)ds的公式,并用此公12∫L式计算下列曲线积分:x2+y2π(1)∫eds,其中L为曲线ρ=a(0≤θ≤)的一段;L4kθ(2)∫xds,其中L为对数螺线ρ=ae(k>0)在圆r=a内的部分.L解因L的参数方程为x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ(θ≤θ≤θ),从而1

7、2dx2dy22'2ds=()+()dθ=ρ(θ)+ρ(θ)dθ.dθdθ故∫Lf(x,y)dsθ222=∫f(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)⋅ρ(θ)+ρ′(θ)dθ.θ1πx2+y24a2aπa(1)∫eds=∫ea+0dθ=e.L0400kθ22kθ222kθ222kθ(2)∫Lxds=∫−∞aecosθ⋅ae+axedθ=a1+k∫−∞ecosθdθ.02kθ记I=∫−∞ecosθdθ,则02kθ2I=esinθ∫−∞−2kθsinθdθ=2k−4kI222k2ak1+k于是I=,故xds=.4k2+1∫L1+4k25.证明:若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=

8、x(t),y=y(t),t∈[α,β]上连续,则存在点(x,y)∈L,使得f(x,y)ds=f(x,y)∆L,00∫00L其中∆L为L的弧长.证由于f在光滑曲线L上连续,从而曲线积分∫Lf(x,y)ds存在,且β22∫Lf(x,y)ds=∫αf(x(t),y(t))x′(t)+y′(t)dt.又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以22f[x(t),y(t)]与x′(t)+y′(t)在[α,β]上连续.由积分中值定理知:∃t∈[α,β]使022∫f[x(t),y(t)]x′(t)+y′(t)dtLβ22=f