微分方程模型和应用.pdf

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1、微分方程模型应用和计算华南理工大学理学院数学系刘深泉教授典型微分方程模型•Malthus人口模型•Logistic模型•新产品推广模型•两物种竞争模型•正规战-游击战模型•Lotka-Volterra模型•海洋种群生态学•多物种相互作用和变化马尔萨斯（Malthus）指数人口模型假设人口增长率r是常数1dNdN=r或=rNNdtdt特点：种群数量翻一番的时间固定马尔萨斯模型的预报结果，1961年世界人口30.6（3.06×109）人口增长率2%，每35年增加一倍。1700年至1961的260年人口数量

2、人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。Logisitic模型dNN=rN(1-)dtNmaxNt()=N00模型检验Logistic模型效果如何呢？克朗皮克（Crombic）人工饲养小谷虫的实验。数学家高斯（E·F·Gauss）做原生物草履虫实验，都和Logistic曲线吻合。Logistic模型描述种群增长高斯把5只草履虫放进盛有0.5cm3营养液的小试管，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.00615

3、7，N(0)=5的Logistic曲线：375Nt()=-2.309t174+eMalthusandLogistic模型前一模型种群增长率r为常数。后一模型则引入个竞争项。ApplicationofLogisticmodelmodelingpopulationgrowthmodelingofgrowthoftumorsInchemistry:reactionmodelsInphysics:FermidistributionInlinguistics:languagechangeDoublelogist

4、icfunctionLogistic模型推广dv=kvmM(-)(-v)dtm-min,M-max新产品的推广模型需求量上界K，销售数量x(t)，未使用人数K－x(t).dxµxK(-x)dt记比例系数为k，则x(t)满足：dx=kxK(-x)dt此方程Logistic模型，解为：Kxt()=-Kkt1+CeLogistic模型示例•新技术的传播和商业品牌的S形传播•谣言或网络信息的传播-选举应用•计算机病毒或传染病的扩散模型•城市房地产价格的logistic曲线•细胞分泌胰蛋白酶原和污染浓度扩散•公

5、司财务危机的Logistic回归模型•富士康危机数量的Logistic回归分析•自治系统和非自治系统Predator-preymodel•Predator-preymodelsareargublythebuildingblocksofthebio-andecosystemsasbiomassesaregrownoutoftheirresourcemasses.Speciescompete,evolveanddispersesimplyforthepurposeofseekingresourcestos

6、ustaintheirstrugglefortheirveryexistence.Dependingontheirspecificsettingsofapplications,theycantaketheformsofresource-consumer,plant-herbivore,parasite-host,tumorcells(virus)-immunesystem,susceptible-infectiousinteractions,etc.Theydealwiththegeneralloss

7、-wininteractionsandhencemayhaveapplicationsoutsideofecosystems.Whenseeminglycompetitiveinteractionsarecarefullyexamined,theyareofteninfactsomeformsofpredator-preyinteractionindisguise.RatioRatio--DependentDependentPredatorPredator--PreyModelPreyModelPre

8、ygrowthtermPredationtermdxaxy=x(1-x)-dty+xdybxyParameter/VariableDefinitions=-dy+x–preypopulationdty+xy–predatorpopulationa–capturerateofpreyd–naturaldeathrateofpredatorPredatorPredatorb–predatorconversionratedeathtermgrowthtermL