建模培训-微分方程模型.pdf

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1、微分方程模型2013暑期培训在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。微分方程建模的对象：涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确定性连续问题。微分方程建模的基本方法：1利用导数的意义利用已知的定理与规律寻找导数满足的关系式。2修改已有的模型……微分方程建模的基本步骤：1按照内在规律建立微分方程；2确定微分方程的定解条件（初、边值条件）；3求解或讨论方

2、程（解析解、数值解、定性理论、模拟等）；4模型和结果的讨论与分析。例：Malthus模型种群指在一定时间内占据一定空间的同种生物的所有个体。假设：1假设该生物种群的自然增长率为常数λ，2假设时刻t生物种群数量为N(t)，由于N(t)的数量很大，可视为时间t的连续可微函数，3假设在t=0时刻该生物种群的数量为N。0自然增长率指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数。在Δt时段内种群数量的净增加量=在t+Δt时刻的种群数量-在t时刻的种群数量，即N(tt)N(t)N(t)t两边同除Δt，并令其趋于0，得Malthus模型d

3、N(t)N(t)dtN(0)N011马尔萨斯模型人口预测x10容易解得3.532.52人tN/N(t)N0e1.510.50195020002050210021502200t/年上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可以很好吻合；人们还发现其他一些地方的人口增长情况比较符合这种指数增长模型。但是，Malthus模型与19世纪以后的人口数据有较大的差异，表明模型存在一些缺陷。实际上随着生物种群数量的增加，自然资源、环境因素等对生物种群数量的阻滞作用越来越明显。例：Logistic模型在Malthus模型

4、基础上进一步假设：该生物种群的增长率为种群数量的函数f(N);K为自然资源和环境条件下所能容纳的最大生物种群数量。设f(N)为N的线性函数f(N)=a+bN，且f(0)=λ，f(K)=0，则有Nf(N)(1)K于是，有下面的Logistic模型dNN(1)NdtKN(0)N0容易解得KNN(t)Kt1(1)eN0N0oLogistic模型合理地给出了受环境因素制约的生物种群数量变化情况。将此模型同10世纪--20本世纪30年代为止的美国人口统计数据作比较，发现吻合得相当好。1945年克朗比克做了一个

5、人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯也做了一个草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。例：两种群竞争模型假设：1甲乙两个种群在同一自然环境下争夺有限的同一种来源；2当两个种群独自在同一自然环境中生存时，数量的变化均遵从Logistic模型，即有xxx(11)111N1xxx(12)222N2其中x1、x2分别为两种生物种群在时刻t的数量，λ1，λ2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量。3当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗资源对甲的增长产生了阻滞作用，同样，甲对乙也有

6、阻滞作用。有如下两种群竞争模型：xx12xx(1)1111NN12xxxx(121)2222N2N1或xx(axax)111111122x2x2(2a21x2a22x2)微分方程的求解：#求通解、特解#求数值解不能求解时，可作定性分析，或模拟方程组的平衡点及稳定性(以2阶为例)考虑二阶微分方程组dxf(x,y),dt(#)dyg(x,y).dt代数方程组f(x,y)0,g(x,y)0.的实根x=x0、y=y0称为方程(#)的平衡点,记作P0(

7、x0,y0)，它也是方程(#)的常数解。设f(P)f(P)00xyAg(P0)g(P0)xy则当A的特征根均具有负实部时，P0局部渐近稳定，当A有具有正实部德特征根时，P0不稳定。模拟/数值解对初值问题，可以求其数值解；非初值问题，可以选定一些初值，模拟解的行为。考虑食饵-捕食者模型x1xrx(1)axx1112Kx2dx2bx1x2在用Matlab模拟时，先建立方程的M文件functiony=AODEshijian(t,x);%保存时，文件名和函数名一致，此处为“

8、AODEshijian”y=ones(2,1);r=0.749;K=100;a=0.1;b=0.01;d=0.1;%食饵x(1)-捕食者x(2)模型，%x(1)'=rx(1)(1-x(1)/K)-ax(1)x(2)%x(2)'=-dx