微分方程模型和应用

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1、微分方程模型应用和计算典型微分方程模型Malthus人口模型Logistic模型新产品推广模型物种竞争模型正规战-游击战模型Lotka-VolterraModels海洋种群生态学相互作用和变化问题世界人口增长概况中国人口增长概况年代19081933195319641982199019952000人口3.04.76.07.210.311.312.013.0年代186018701880……1960197019801990人口31.438.650.2……179.3204.0226.5251.4美国人口

2、的增长概况年代1625183019301960197419871999人口5102030405060马尔萨斯（Malthus）指数人口模型假设人口增长率r是常数或其中N0=N(t0)为时刻t0种群数。特点：种群数量翻一番的时间固定种群数量翻一番的时间为T：故模型检验-短期预测马尔萨斯模型的预报结果，1961年世界人口30.6（3.06×109）人口增长率2%，每35年增加一倍。1700年至1961的260年人口数量人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。Logisitic模型模型检验Logi

3、stic模型效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）做原生物草履虫实验，都和Logistic曲线吻合。Logistic模型描述种群增长高斯把5只草履虫放进盛有0.5cm3营养液的小试管，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：得到Logistic微分方程：或改写成：TheLogisticModel

4、whereKiscapacity.InGeneralSituation:ApplicationofLogisticmodelmodelingpopulationgrowthmodelingofgrowthoftumorsInchemistry:reactionmodelsInphysics:FermidistributionInlinguistics:languagechangeDoublelogisticfunctionMalthusandLogistic模型Malthus模型和Logistic

5、模型。前一模型假设了种群增长率r为一常数。后一模型则引入了一个竞争项。Logistic模型的应用推广新产品的推广模型需求量上界K，销售数量x(t)，未使用人数K－x(t).统计筹算律记比例系数为k，则x(t)满足：此方程Logistic模型，解为：Logistic模型示例新技术的传播和商业品牌的S形传播谣言或网络信息的传播-选举应用计算机病毒或传染病的扩散模型城市房地产价格的logistic曲线细胞分泌胰蛋白酶原和污染浓度扩散公司财务危机的Logistic回归模型自治系统和非自治系统Predato

6、r-preymodelPredator-preymodelsareargublythebuildingblocksofthebio-andecosystemsasbiomassesaregrownoutoftheirresourcemasses.Speciescompete,evolveanddispersesimplyforthepurposeofseekingresourcestosustaintheirstrugglefortheirveryexistence.Dependingonthei

7、rspecificsettingsofapplications,theycantaketheformsofresource-consumer,plant-herbivore,parasite-host,tumorcells(virus)-immunesystem,susceptible-infectiousinteractions,etc.Theydealwiththegeneralloss-wininteractionsandhencemayhaveapplicationsoutsideofec

8、osystems.Whenseeminglycompetitiveinteractionsarecarefullyexamined,theyareofteninfactsomeformsofpredator-preyinteractionindisguise.TypesofpredatorsCarnivores食肉动物–killthepreyduringattackHerbivores食草动物–removepartsofmanyprey,rarelylethal.Parasites