几种重要的微分方程应用模型

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1、第六节几种重要的微分方程应用模型高等数学05-06-01数学模型(MathematicalModel)对于一个现实对象，为了一个特定的目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称为数学模型。高等数学05-06-02数学建模(MathematicalModeling)建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）。高等数学05-06-03用x表示船速，y表示水速，得方程：答：船速每小时20千米。例（航行问题）甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？高等数学0

2、5-06-04高等数学05-06-05航行问题建立数学模型的基本步骤：1.作出简化假设（船速、水速为常数）；2.用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；3.用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；4.求解得到数学解答（x=20,y=5）；5.回答原问题（船速每小时20千米）。（1）模型准备在建模前应对实际问题的背景有深入的了解，明确所要解决问题的目的，并收集已有的各种资料和数据。（2）模型假设由于实际问题错综复杂，涉及面广，必须先将问题理想化，简单化，即抓住主要因素，暂不考虑次要因素，这是建模的关键一步。建立数学模型的方法

3、和步骤：高等数学05-06-06（4）模型求解根据建立的数学模型，给出相应的数学求解方法，如解方程，画图形，数值计算，利用计算机技术等。（3）模型构成在所假设的基础上，分清变量类型，利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学模型。高等数学05-06-07（5）模型分析和检验将所得的结果与实际情况作分析比较，用已有数据去验证，判断模型的正确性。如果由模型分析或计算出来的理论或数值与实际问题或实际数值较吻合，则模型成功；如果两者差别很大，则模型失败，需要重新修改模型。高等数学05-06-08模型准备模型假设模型构成模型检验模型分析模型求解模型应用高等

4、数学05-06-09一、放射性同位素衰变模型高等数学05-06-10二、药物动力学室模型三、牛顿冷却模型四、溶液连续稀释模型五、Logistic模型六、肿瘤生长的数学模型一级速率过程在某一变化过程中，一个量的变化速率与当时的量成正比，称这种动力学过程为一级速率过程。高等数学05-06-11一级反应若化学反应速率与反应物的浓度成正比，称为一级反应。例在中东巴勒斯坦地区一个山洞里发现的古人骨中，同位素14C与12C之比仅为活组织的6.24%，已知14C每年衰减1/8000，试问此人活在多少年前？高等数学05-06-12室模型是将整个机体设想成若干个房室，认为药物

5、在体内的吸收、分布、代谢、消除的过程在房室之间进行，并假设药物在房室中的分布是均匀的。高等数学05-06-13二、药物动力学室模型（3）静脉滴注（1）快速静脉推注（2）口服给药高等数学05-06-14一室模型是将机体看成一个动力学上同质的单元，它适合于给药后，药物立即进入血液循环，并能在瞬间分布全身和达到动态平衡的情况。高等数学05-06-15x(t)VDk设x(t)为体内t时刻的药量，D为一次注射的剂量，k>0为消除速率常数，V为室的理论容积，称为表观分布容积。高等数学05-06-16COtC0高等数学05-06-17T血药浓度半衰期（生物半衰期）高等数学

6、05-06-18例用某药进行静脉注射，第一次注射后，经一小时浓度降至初始浓度的，问要使血药浓度不低于初始浓度的一半，问经过多长时间要进行第二次注射？设xa—胃肠道（吸收部位）的药量x—体内的药量Ka—吸收速率常数K—消除速率常数F—所给剂量D中可吸收的分数，称为生物利用度(0F1)。高等数学05-06-19x(t)VKaKFD高等数学05-06-20初值条件COtCmax高等数学05-06-21药物吸收的总量峰浓度COtCmax达峰时间高等数学05-06-22tmx(t)Vk0k设以恒定速率k0作静脉滴注高等数学05-06-23COt平衡浓度高等数学05

7、-06-24例由物理学Newton冷却定律知，在环境温度T0保持不变的前提下，物体温度T的变化率与当时物体温度T和所处环境温度T0之差成正比。在外界温度为20℃（恒温）时，一物体在20分钟之内由100℃降到60℃，求（1）冷却规律；（2）40分钟时物体的温度；（3）多长时间物体降至30℃？高等数学05-06-25例有一容器内盛盐水100升，含盐50克，现将每升含盐量2克的盐水以每分钟5升的速率注入容器并不断地搅拌使混合液迅速达到均匀，同时混合液以相同的速率流出容器，问在任一时刻t容器内的含盐量x(t)是多少？在30分钟末容器内的含盐量是多少？高等数学05-0

8、6-26例（流入流出速率不一样）有一容器内盛盐水10