微分方程模型

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1、参考文献厦门大学国家精品课程《数学建模》网站http://mcm.xmu.edu.cn/DocumentList.aspx?cID=11《数学模型》，姜启源等编，高等教育出版社。《高等数学》，《微积分》，嘉庚学院教材。《常微分方程》，王高雄等，高等教育出版社。《数学物理方程与特殊函数》，南京工学院数学教研组，高等教育出版社。《数学物理方程》，谷超豪等，高等教育出版社。《数学物理方程的Matlab解法与可视化》，彭芒麟著，清华大学出版社。1微分方程模型引例物体冷却过程的数学模型RLC电路数学摆人口模型

2、洛伦兹(Lorenz)方程2物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻t=0时,测量得它的温度为u0=1500C,10分钟后测量得温度为u1=1000C.要求决定此物体的温度u和时间t的关系,并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为ua=240C.3解(1)先了解有关热力学的一些基本规律。热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；牛顿(Newton)冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例.设物体在时刻t的温度为u=u

3、(t),则温度的变化速度为又因为u0>ua,所以温差u-ua恒正。故由牛顿冷却定律得到4这里k>0是比例常数。此为一阶微分方程。(2)从以上方程中“解出”u.分离变量u和t：两边积分：取对数：5即：根据“初始条件”：当t=0时，u=u0得到：c=u0－ua于是再根据条件：当t=10时，u=u1得到：由此，6用给定的u0=150,u1=100和ua=24代入，得到从而(3)根据此方程计算物体的温度：20分钟后：u≈700C2小时后u≈24.30C,3小时后u≈24.010Ct→+∞时，u→240C7此

4、例用微分方程解决实际问题的步骤建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；求解这个微分方程；用所得的数学结果解释实际问题。应用已知的自然规律（例如此例中的牛顿冷却定律），是建立微分方程的数学模型的一种常用的方法。以下是另外两个例子：8RLC电路定义：包含电阻R、电感L、电容C及电源的电路称为RLC电路。定义：包含电阻R、电感L及电源的电路称为RL电路。基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。9电流I经过电阻R的电压降为RI;电流I经过

5、电感L的电压降为电流I经过电容C的电压降为Q/C。RL电路的微分方程根据基尔霍夫第二定律，设R,L及电源电压E为常数，当开关合上后，存在关系式10其中I=I(t),初值条件：I(0)=0(1.2)如果当t=t0时有I=I0，而电源突然短路，则I(t0)=I0(1.4)即11RLC电路的微分方程设R,L,C为常数，电源电压e(t)是时间的已知函数。当开关合上时存在关系式微分上式，代入电流与电量的关系式得当电源电压是常数e(t)=E,且R=0时，有(1.5)(1.7)12数学摆数学摆是系于一根长度为l的

6、线上而质量为m的质点M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，如图所示。根据牛顿第二运动定律可以确定摆的运动方程是13即(1.8)当φ比较小时，得到微小振动时摆的运动方程(1.9)如果摆是在一个粘性的介质中摆动，且沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)作用于它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为(1.11)14当要确定摆的某一个特定的运动时，应该给出摆的初始状态：当t=0时，(1.12)不同现象可以由同类型的微分方程来描述：RLC电路方程(1.5)和数学摆的强迫振动方程(1.11)属于同

7、一类型；RLC电路方程(1.7)和数学摆的微小振动方程(1.9)也属于同一类型。结论15人口模型马尔萨斯(Malthus)通过分析数据，于1798年提出马尔萨斯人口模型:假设人口自然增长的净相对增长率是一个常数r（又称为生命系数），则在t到t+△t这段时间内人口数量N=N(t)的增长量为N(t+△t)–N(t)=rN(t)△t,于是(1.13)16如设初始条件为：t=t0时,N(t)=N0,可解得因r>0,当t→+∞时,N(t)→+∞,不合理.荷兰生物学家Verhulst引入最大人口数Nm,并假设净

8、相对增长率为r(1－N(t)/Nm),得到与20世纪70年代的统计结果相符的logistic模型:(1.17)17洛伦兹(Lorenz)方程气象学家洛伦兹在对大气动力方程进行模拟过程中，发现存在初值敏感性，通过反复试验，得到了后来被称为混沌现象第一例的著名的Lorenz方程(a=10,b=8/3,c=28)(1.26)18小结构造常微分方程的数学模型有几种方法：（1）应用已知的自然规律来构造；（2）通过分析数据的相互关系来建立；（3）通过反复试验寻找出适合要求的模型。