微分方程模型习题

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时间:2018-01-23

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1、(微分方程模型)1.一个半球状雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数k>0。设融化中雪堆始终保持半球状,初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要多长时间?2.从致冰厂购买了一块立方体的冰块,在运输途中发现,第一小时大约融化了1/4(1)求冰块全部融化要多长时间(设气温不变)(2)如运输时间需要2.5小时,问:运输途中冰块大约会融化掉多少?3.一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水,设漏斗底部的孔足够大(表面张力不计),试求漏斗中的水流光需要多少时间?4.容器甲的

2、温度为60度,将其内的温度计移入容器乙内,设十分钟后温度计读数为70度,又过十分钟后温度计读数为76度,试求容器乙内的温度。5.一块加过热的金属块初始时比室温高70度,20分钟测得它比室温高60度,问:(1)2小时后金属块比室温高多少?(2)多少时间后,金属块比室温高10度?6.设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升,现对其以每分钟3升的速率注入清水,容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀,并同时以每分钟2升的速率放出盐水,求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐?7.某伞降兵跳伞时的总质量为10

3、0公斤(含武器装备),降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0,经8秒钟后降落伞打开,降落伞打开后的空气阻力约为0.6试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。8.1988年8月5日英国人MikeMcCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录,它从比萨斜塔上跳下,到离地179英尺时才打开降落伞,试求他落地时的速度。9.证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数,()10.实验证明,当速度远低于音速时,空气阻力正比与速度,阻力系数大约为0.005。现有一包裹从

4、离地150米高的飞机上落下,(1)求其落地时的速度(2)如果飞机高度更大些,结果会如何,包裹的速度会随高度而任意增大吗?11.生态学家估计人的内禀增长率约为0.029,已知1961年世界人口数为30.6亿(3.06×)而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算:(1)世界人口数的上限约为多少(2)何时将是世界人口增长最快的时候?12.早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型(=λV,其中λ为常数),(1)求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料,一般有σ(7,465)(单位为天),肺部恶性肿

5、瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天(发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤),故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一(2)为方便起见,医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小,试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式D=13.正常人身上也有癌细胞,一个癌细胞直径约为10μm,重约0.001μg.,(1)当患者被查出患有癌症时,通常直径已有1cm以上(即已增大1000倍),由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天,故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一(2)手术治疗常不能割去所有癌细胞,故有时需进行放射疗法。射

6、线强度太小无法杀死癌细胞,太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞,请设计一个可行的治疗方案(医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。14.设药物吸收系数(k为药物的分解系数),对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值(峰浓度)级达峰时间。15.医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间,服用的剂量过大会产生副作用甚至危险,服用的剂量过小又达不到治疗的目的,例如,为有效杀死病菌,体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。16

7、.在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测,测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个,已知碳14的半衰期为5568年,试求这些壁画的年龄(精确到百年)。17.2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头,经测定其碳14仅为原有量的14%,试计算该动物大约生活在什么时候。18.1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓,从该墓中发掘到的文物的每克每分钟衰减数为3.06个,试确定该古墓的年代。19.实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.4

8、4毫克,据此你能推算出镭的半衰期吗?20.根据化学知识,溶液中两种物质起反应生成新物质时,反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B,两物质反应的质量之比为a:b,求t时刻溶液中生成物的数量x(t)。21.牛顿发现在温差不太大的情况下,物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5,法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度,一小时后再次测量,测的体温约为30.5度,试推测该受害者的受害时间。22

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