M05微分方程模型.pdf

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1、第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战与游击战5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用5.6人口的预测和控制5.7烟雾的扩散与消失5.8万有引力定律的发现•描述对象特征随时间(空间)的演变过程动态模型•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段微分•根据函数及其变化率之间的关系确定函数方程•根据建模目的和问题分析作出简化假设建模•按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻

2、•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型模型1已感染人数(病人)i(t)假设•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为建模i(tt)i(t)i(t)tditii(t)i0edti(0)iti?0若有效接触的是病人，必须区分已感染者(病则不能使病人数增加人)和未感染者(健康人)模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康SI模型人的比例分别为i(t),s(t)2）每个病人每天有效接触人数~日为,且使接触的健康人致病接触

3、率建模N[i(tt)i(t)][s(t)]Ni(t)tdisididti(1i)dti(0)is(t)i(t)10模型2dii(1i)logistic模型dti(0)ii011i(t)1t11e1/2i0i0110tmttln1mi0t=tm,di/dt最大t~传染病高潮到来时刻ti1?m(日接触率)tm病人可以治愈！模型3传染病无免疫性——病人治愈成SIS模型为健康人，健康人可再次被感染增加假设3

4、）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模N[i(tt)i(t)]Ns(t)i(t)tNi(t)tdii(1i)i~日接触率dti(0)i01/~感染期/~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3dii(1i)i/dii[i(11)]dtdtdi/dtii>1i0>11i01-1/di/dt<0i01-1/1i00t0t11,1接触数=1~阈值i()0,11i(t)1i(

5、t)按S形曲线增长感染期内有效接触感染的i0小健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例模型4传染病有免疫性——病人治愈SIR模型后即移出感染系统，称移出者假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模s(t)i(t)r(t)1需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程模型4SIR模型N[i(tt)i(t)]Ns(t)i(t)tNi(t)tN[s(tt)s(t)]

6、Ns(t)i(t)tdisiidt无法求出i(t),s(t)dssi的解析解dti(0)i,s(0)s00在相平面s~i上研究解的性质is1(通常r(0)r很小）000模型4SIR模型消去dtdi1di/1siidssdtiidsss00sidti(0)i,s(0)s相轨线001si(s)(si)sln00s0相轨线i(s)的定义域i1D{(s,i)s0,i0,si1}在D内作相轨线i(s)

7、D的图形，进行分析s01模型4相轨线i(s)及其分析SIR模型idisiidi11s1dt1i(s)(si)slndss00dsssi0iidtss00i(0)i,s(0)sD00P4P2s(t)单调减相轨线的方向imPs1/,iit,i01mP3s满足sis1lns00sS01/s01s00s0P1:s0>1/i(t)先升后降至0传染病蔓延1/~阈值P2:s0<1/i(t)单调降至0传染病不蔓延模型4预防传

8、染病蔓延的手段SIR模型传染病不蔓延的条件——s0<1/•提高阈值1/降低(=/),(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平•降低s0提高r0群体免疫sir1000的估计1s忽略ilns0lnssisln0000s0ss0模型4被传染人数的估计SIR模型记被传染人