定角夹定高(2).pdf

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1、定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值A（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，∠BAC是一个定O角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。BDC定角定高动态图.gsp从动态图中（定角定高动态图.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面

2、积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）A那么该如何证明呢？首先我们连接OA，OB，OC，过O点作OH⊥BC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，OE也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和O的半BHDC径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA

3、+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值。图1[简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]总结：1.定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。2.定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形性中解直角三角形。下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD∥BC，∠B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°

4、，则△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。AD【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处F理.将△ADF绕A点顺时针旋转120°，得△ABF′，则∠EAF′BC=60°，易证△AEF′≌△AEF，作△AEF′的外接圆O，作EOH⊥BC于点H，AG⊥BC于点G，则∠F′OH=60°，AG=3OFrAB23，设O的半径为r，则OH=222r43OAOHAGrr23,AD231FAEFAEFOE'60FE'3F211OSEFAGAEFAEFSr'3234322C

5、F'BHGE∴△AEF的面积最小值为43以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【针对练习】1.（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（2）如图

6、2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=62，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。CDFCADBAEB图2图1（1）解：如图1-1作△ABC的外接圆O，连OA、OB、OC，作OH⊥AB于HC113①设O半径为r，OHOArAB,223AHOAr22218②COHOCD，即rr4，得r23O11816③SABCD3r423r23

7、3ABC2233AHDB（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。由于：SSSS四边形AECF四边形ABCDCDFCBE图1-1=72272(SS)CDFCBED因此，只要SS最小，S面积最大CDFCBEAECFF解：在AB上找一点H，使AH=HC。延长AB至G，使BG=FD，连CG，作△CEG的外接圆O.（如图1-2）C②证AC为∠BAD平分线②求S面积。∠CHB=45°，AH=CH=2CB12四边形ABCDAHEBGHB=BC=62AB=1262图1-21DSS22ABBCABBCABCDABC2(126

8、2)6272272FCSSS③△CDF≌△CBG，则