北航线性代数 试卷.pdf

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1、一、判断题。在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号1．任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积。（）T2．方阵A与其转置阵A有相同的特征值，因此有相同的特征向量。（）3.设A为n阶行列式D=

2、a

3、中元素a的代数余子式，若a=-A(i,j=1,2,L,n)，ijijijijij则D¹0。（）4．若h,h,L,h为线性方程组AX=0的基础解系，则与h,h,L,h等价的向量组12r12r也为此方程组的基础解系。（）5．设a,b,c是互不相等的数，则向量组232323(1,a,a,a)，(1,b,b,b)，(1,c,c,c)是线性无关的。（）二、单项

4、选择题1.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，则成立。A.ACB=E；B.CBA=E；C.BAC=E；D.BCA=E.2.设n维向量a,a,L,a(m

5、,b，它的导出组的一个基础解12系为a,a，则线性方程组AX=b的通解X=(其中k,k为任意常1212数)。1A.ka+k(a+a)+(b-b)；112121221B.ka+k(a-a)+(b+b)；112121221C.ka+k(b+b)+(b-b)；112121221D.ka+k(b-b)+(b+b).112121224.设A,B均为n(n³2)阶方阵，则必有。A.

6、A+B

7、=

8、A

9、+

10、B

11、；B.AB=BA；-1-1-1C.

12、AB

13、=

14、BA

15、；D.(A+B)=B+A5.n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是。A.R(A)=R(B)；B.A与B的

16、正惯性指数相等；C.A，B为正定矩阵；D.A,B同时成立。三、填空题1．a,b,g为三维列向量，已知三阶行列式

17、4g-a,b-2g,2a

18、=40，则行列式

19、a,b,g

20、=。2．五阶方阵A的特征值为1，1，2，2，3，E为五阶单位阵，则

21、A-4E

22、=。-1æO2Aö3．设A,B为同阶可逆矩阵，则çç÷÷=。èBOøTTTT4．设向量组a=(1,2,3,4)，a=(2,3,4,5)，a=(3,4,5,6)，a=(4,5,6,7)，则1234R(a,a,a,a)=。1234æ1öç÷-135．若方阵A相似于ç-2÷，则

23、A

24、=。ç÷è2ø6．已知A,B均为

25、n(n³2)阶矩阵，A*,B*分别为它们的伴随矩阵，如果R(A)=n-1,R(B)=n，则R(A*B*)=。ì2x+y+z=0,ï7．若齐次线性方程组íax-z=0,存在非零解，则系数a=。ïî-x+3z=0.8．设A为三阶实对称矩阵，其特征值分别为1，0，-3。已知与特征值TT1，-3对应的特征向量分别为(1,0,1)和(1,1,-1)，则与特征值0对应的一个特征向量为。2229．已知二次型f(x,x,x)=x+2xx+2x+6xx+9x，它的标准形1231122233为。10．设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1，2，3，L,n。则当t时，矩阵tE

26、-A为正定矩阵。四、计算题1.TTTTb=(1,3,-3),a1=(1,2,0),a2=(1,a+2,-3a),a3=(-1,-b-2,a+2b)试讨论a,b为何值时（1）b不能用a,a,a线性表示；123（2）b可由a,a,a唯一地表示，并求出表示式；123（3）b可由a,a,a表示，但表示式不惟一，并求出表示式.1232．设a=(2,-1,1)，求T（1）aa的特征值与特征向量；TT（2）一正交阵Q，使得QaaQ为对角阵。33.已知R中的二组基TTTa=(1,2,1)，a=(2,3,3)，a=(3,7,1)；123TTTb=(3,1,4)，b=(

27、5,2,1)，b=(1,1,-6).123(1)求由基a,a,a到b,b,b的过渡矩阵及坐标变换公式；123123(2)求向量b=2b-b-b在基a,a,a下的坐标。123123(3)求向量a=a-2a+4a在基b,b,b下的坐标.123123五、证明题已知平面上三条不同直线的方程分别为l:ax+2by+3c=0,1l:bx+2cy+3a=0,2l:cx+2ay+3b=0.3试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.