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《2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题选做部分第4讲不等式选讲练习理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题选做部分第4讲不等式选讲练习理1.(xx·南京调研)设实数x,y,z满足x+5y+z=9,求x2+y2+z2的最小值.解 由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+52+12)≥(1·x+5·y+1·z)2.因为x+5y+z=9,所以x2+y2+z2≥3,当且仅当x=,y=,z=时取等号,所以x2+y2+z2的最小值为3.2.(xx·江苏卷)解不等式:x+
2、2x-1
3、<3.解 原不等式可化为或解得≤x<或-2<x<.所以不等式的解集是.3.(xx·江苏卷)已知实数x
4、,y满足:
5、x+y
6、<,
7、2x-y
8、<,求证:
9、y
10、<.证明 因为3
11、y
12、=
13、3y
14、=
15、2(x+y)-(2x-y)
16、≤2
17、x+y
18、+
19、2x-y
20、,由题设知,
21、x+y
22、<,
23、2x-y
24、<,从而3
25、y
26、<+=,所以
27、y
28、<.4.(xx·苏州调研)设函数f(x)=+
29、x-a
30、(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求实数a的取值范围.(1)证明 由a>0,有f(x)=+
31、x-a
32、≥=+a≥2,当且仅当a=1时,等号成立,所以f(x)≥2.(2)解 f(3)=+
33、3-a
34、.当a>3时,f(3)=3++a-3=a+,由
35、f(3)<5得3<a<;当0<a≤3时,f(3)=3++3-a=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.5.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.证明 (1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2,因为a,b都是正数,所以a+b>0,又因为a≠b,所以(a-b)2>0,于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.(2)因为b2+c2≥2bc,a2≥0,所
36、以a2(b2+c2)≥2a2bc.①同理b2(a2+c2)≥2ab2c.②c2(a2+b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此≥abc.6.(xx·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,
37、a+b
38、<
39、1+ab
40、.(1)解 f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-141、当-42、-143、a+b44、<45、1+ab46、.
41、当-42、-143、a+b44、<45、1+ab46、.
42、-143、a+b44、<45、1+ab46、.
43、a+b
44、<
45、1+ab
46、.
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