2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题选做部分第4讲不等式选讲练习理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七附加题选做部分第4讲不等式选讲练习理1.(xx·南京调研)设实数x,y,z满足x+5y+z=9,求x2+y2+z2的最小值.解 由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+52+12)≥(1·x+5·y+1·z)2.因为x+5y+z=9,所以x2+y2+z2≥3,当且仅当x=,y=,z=时取等号,所以x2+y2+z2的最小值为3.2.(xx·江苏卷)解不等式:x+

2、2x-1

3、<3.解 原不等式可化为或解得≤x<或-2<x<.所以不等式的解集是.3.(xx·江苏卷)已知实数x

4、,y满足:

5、x+y

6、<,

7、2x-y

8、<,求证:

9、y

10、<.证明 因为3

11、y

12、=

13、3y

14、=

15、2(x+y)-(2x-y)

16、≤2

17、x+y

18、+

19、2x-y

20、,由题设知,

21、x+y

22、<,

23、2x-y

24、<,从而3

25、y

26、<+=,所以

27、y

28、<.4.(xx·苏州调研)设函数f(x)=+

29、x-a

30、(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求实数a的取值范围.(1)证明 由a>0,有f(x)=+

31、x-a

32、≥=+a≥2,当且仅当a=1时,等号成立,所以f(x)≥2.(2)解 f(3)=+

33、3-a

34、.当a>3时,f(3)=3++a-3=a+,由

35、f(3)<5得3<a<;当0<a≤3时,f(3)=3++3-a=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.5.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.证明 (1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2,因为a,b都是正数,所以a+b>0,又因为a≠b,所以(a-b)2>0,于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.(2)因为b2+c2≥2bc,a2≥0,所

36、以a2(b2+c2)≥2a2bc.①同理b2(a2+c2)≥2ab2c.②c2(a2+b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此≥abc.6.(xx·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,

37、a+b

38、<

39、1+ab

40、.(1)解 f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1

41、当-

42、-1

43、a+b

44、<

45、1+ab

46、.

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