2019-2020年高考数学一轮总复习第12章几何证明选讲AB卷文新人教A版

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习第12章几何证明选讲AB卷文新人教A版1.(xx·新课标全国Ⅰ，22)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小.(1)证明　如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.(2)解　设CE＝1，AE＝

2、x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°.2.(xx·新课标全国Ⅰ，22)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.证明　(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相

3、切.(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.3.(xx·新课标全国Ⅱ，22)如图，在正方体ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.(1)证明　因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CD

4、F，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，＝＝，所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF，因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F四点共圆.(2)解　由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连接GB，由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边形BCGF的面积S是△GCB的面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝.4.(xx·新课标全国Ⅲ，22)如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大

5、小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.解　(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD.所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明　因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心.所以

6、G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.5.(xx·新课标全国Ⅱ，22)如图，O是等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.(1)证明EF∥BC；(2)若AG等于⊙O半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积.(1)证明　由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解　由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，

7、故AD是EF的垂直平分线.又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.6.(xx·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB

8、＝MC，证明：△ADE为等边三角形.证明　(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.