2019-2020年高考数学一轮总复习第12章几何证明选讲高考AB卷理

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习第12章几何证明选讲高考AB卷理　相似三角形的判定与性质1.(xx·全国Ⅱ，22)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.(1)证明　因为DF⊥EC，则∠EFD＝∠DFC＝90°，易得∠DEF＝∠CDF，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，＝＝，所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF.因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G

2、，F四点共圆.(2)解　由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB.连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG.因此，四边形BCGF的面积S是△GCB的面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝.　圆的初步2.(xx·全国Ⅲ，22)如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.(1)解　连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠P

3、BA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明　因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.3.(xx·全国Ⅰ，22)如图，△OAB是等腰三角形；∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C

4、，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.证明　(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切.(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.4.(xx·全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△A

5、BC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积.(1)证明　由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解　由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等

6、边三角形.因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.5.(xx·全国Ⅱ，22)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明　(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因此BE＝E

7、C.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.　相似三角形的判定与性质1.(xx·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.解析　如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC.又O为AB线段的中点，所以OP＝BC＝.在Rt△OCD中，OC＝AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，