高中数学第一章统计案例1.1回归分析利用最玄乘法求回归直线素材

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1、利用最小二乘法求回归直线研究具有相关关系的两个变量，就是寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性，该分析过程称为回归分析，其思想是把相关关系（即不确定性关系）转化为确定性的函数关系．根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫做线性回归分析，所求函数关系=bx

2、+a就是线性回归方程=bx+a是回归方程中的斜率,a是截距，且回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线．回归直线是与数据点最贴近的直线，也就是使离差的平方和Q=最小的直线，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差平方和最小”的方法叫做最小二乘法．实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”．即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．本文通过几个具体例子谈

3、谈如何根据最小二乘法的思想，借助计算器或计算机求回归直线的方程。1.利用最小二乘法思想求回归直线的方程例1.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：        （1）y与x之间是否具有线性相关关系？   （2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.   分析:求回归直线方程和相关系数，通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出线性回归方程的系数和相关系数.   解：（1）列出下表，并用科学计算器进行计算：4        查表得出相应于0.05和n-2

4、的相关系数临界值r0.05=0.632.由r>r0.05知，y与x具有线性相关关系.（2）设所求回归直线方程为=bx+a.分别代入计算公式得，b≈0.668，a=54.96，即所求回归直线方程为＝0.668x+54.96.   点评：一般情况下，在具体问题里先进行相关性检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系后，再求其线性回归方程，否则，所求得的线性回归方程是无意义的.实际上，先求相关系数，再求线性回归方程并没有增加太多的计算量，因为在完成上述表格的基础上，两种结果都很容易用计算器求出.2.注意区分y关于x的线性回归方程与x关于y的线

5、性回归方程例2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求①y关于x的回归直线方程；②4x关于y的回归直线方程．分析：如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，那么说明两变量具有线性相关关系．解：(1)画出散点图,如上图.由图可知y与x有线性相关关系．(2)列表、计算：①设所求的回归直线方程为=bx+a,则由上表可得即所求的回归直线方程为：=0.668x+54.96.②设所求回归直线方程为即所求回归直线方程为点评：y

6、关于x的线性回归方程与x关于y的线性回归方程一般情况下不相同,要注意区分,并熟练掌握.3.解决实际应用问题例3.下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：4试估计1996年我国居民生活污水排放量，并预测2008年生活污水排放量(单位：108t)．解析要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996年，样本容量为7.解答设1995年为第1年,…,2002年为第8年，列表，用科学计算器进行有关计算：∴回归方程为y=11.45x+147.2..当x=2时,y=170.1,当x=14时,y=307.5.

7、∴1996年污水排放量估计为170.1×108t，2008年污水排放量估计为307.5×108t.点评：灵活选取数据可以简化运算，故只要求分析两变量相关关系，用其解决实际问题时，可选取哈当的变量进行分析．由上面的例题分析可以看出:“最小二乘法”是求回归直线方程的最常用的方法之一,在以后的学习中同学们要逐步体会．4