Cauchy不等式的等价形式及其应用文献综述

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1、文献综述Cauchy不等式的等价形式及其应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和应用。特别是在应用柯西不等式解决某些问题时能起到简便直观的作用。对任意两组实数；；有当且仅当与对应成比例，即时等号成立。（的意义如下：在不全为零时，若，则对应的；在时，可取任意实数。）这个不等式称柯西（Cauchy）不等式。柯西不等式（CauchyInequality）定理：设和是任意实数，则，当且仅当（为常数，）时取等号。由于所设条件是一切实数，没有其他条件限制，运用范围较广。柯西不等式在不同的数学领域的形式和内容不同

2、，但却具有内在的联系。在初等数学中的柯西不等式就称为柯西不等式；在微积分中的柯西不等式称为柯西—许瓦兹不等式，它是以积分的形式给出的；在概率论中的柯西不等式也称为柯西—许瓦兹不等式，它是以随机变量的数字特征形式给出的；在线性代数中的柯西不等式称为柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用内积形式给出的。Cauchy不等式的形式1、在初等数学中，任意有当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立。1、在积分学中，任意有。当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立。2、在高等代数的n维欧式空间中，任意向量当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立。3、在概率论中，任意，若存在，则有当且仅当存在不全为零的

3、常数使时，等式成立。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789－1857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定

4、积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子相反。据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西于1802年入中学。在

5、中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811及1812年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是：(1)证明了凸正多面体只有五种(面数分别是4，6，8，12，20)，星形正多面体只有

6、四种(面数是12的三种，面数是20的一种)。(2)得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。(3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。柯西于1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是：(1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。(2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百

7、多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。(3)用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。(4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年得法国科学院数学大奖。以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。1815年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴