中常数磁场和位势的薛定鄂算子的特征函数问题开题报告

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1、开题报告中常数磁场和位势的薛定鄂算子的特征函数问题一、选题的背景、意义函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，作为数学的一个部分，它经历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系。不同函数空间上的算子具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧性、谱性质、代数性质(如正规性、亚正规性)等几个方面。基于这点，本课题由定义中常数磁场和位势的薛定鄂算子出发，解决研究过程中该算子的特征函数问题。我们已经证明了很多类算子关于可加性的结论（见文献[1]，[2]）。以及光谱展开的可加性的研究如特殊的Hermite展开（见文献[

2、1],[3]）。采用分离变量法求解一维波动方程和一维热传导方程（见文献[6]）。二十世纪初，法国数学家Frechet用抽象的形式表达了函数空间。指出：空间中的每一点都是函数，并引入了一类空间。Hilbert在研究积分方程时，将一个函数看成是由它相应的标准正交函数系的Fourier系数确定的。1907年，德国数学家Schimidt发展了Hilbert这一思想，并将其抽象为一般的空间。他还据此导出了正交系的概念。之后Riesz进一步由积分方程导出的空间，开始对抽象算子理论进行研究，并引入了范数的概念。二十世纪20年代，Banach用三组公理建

3、立了完备的赋范向量空间，称之为“Banach空间”。它包括空间，连续函数空间，有界可测函数空间等。1932年发表了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理的线性算子理论。1929年和1930年vonNeumann应用公理化方法深入地研究了Hilbert空间中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之间的联系。他又把有关结论推广到无界算子，并发现了这种算子的谱理论。后来，Hormander进行了对椭圆型微分算子光谱函数和特征函数展开以及线性偏微分算子的研究（见文献[7]，[8]），NicoleBerline对狄拉克算子非线性单调算子进行了研究

4、（见文献[9]）。陈恕行研究了拟微分算子（见文献[10]），钟怀杰通过对黎斯算子类的专门探讨，反映一般Banach空间算子理论的特殊性（见文献[11]）。孙炯，王忠系统介绍并分析了有界线性算子、共轭算子、正常算子、自共轭算子、紧算子的结构（见文献[12]）。在数学中，Hermite多项式是一种经典的正交多项式族。Thangavelu研究给出出了Hermite函数与特殊的Hermite函数以及Laguerre函数的定义，以及函数的展开及性质。并指出了Hermite函数与算子特征函数之间的关系。介绍并证明了Hermite函数与Fourier变

5、换之间存在的关系。同时，Thangavelu证明了特殊的Hermite函数的一些性质，并分析讨论它们展开的一些收敛性质和有界性情况。也介绍了Riesz平均和临界的指标的情况。([1])G.Rozenblum和G.Tashchiyan对常数磁场的薛定鄂算子进行了研究，得出了一些重要的结论（[4]）。但是求3维欧氏空间中带常熟磁场和电位势的薛定鄂算子：的特征值和特征函数，并证明所有的特征函数成为中的一组完备的正交基的工作还没有研究。本文希望通过对实变函数泛函分析，高等代数，数学分析理论和技巧（详细参考文献[5],[13],[14]）的应用，以

6、及Thangavelu对Hermite展开过程的方法的研究，解决以上问题，是非常具有研究意义的。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题主要的内容有下面几点：求出3维欧氏空间中带常数磁场和电位势的薛定鄂算子的特征值与特征函数，并证明所有的特征函数成为中的一组完备的正交基。关键问题：（1）熟悉该算子的定义；（2）对比磁场为（1,1）时特征函数；（3）给出算子的特征值和特征函数的描述。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标方法与技术路线：本论文主要以查找资料、参考文献，以学过的相关知识，在前人的研究论述基础上，应用实变函数泛函分析，高

7、等代数，数学分析理论和技巧，以及Thangavelu对Hermite展开过程的方法的研究来计算解决问题。第一步：学习Thagavelu关于Heimite展开的讲义的第一和第二章；第二步：熟悉微分算子的运算.难点：1）如何理解该算子的定义；2）如何找出还算子的特征函数；3）所有的特征函数成为中的一组完备的正交基的证明预期目标：找出该算子的特征函数四、论文详细工作进度和安排第七学期第10周至第12周　查阅文献，收集信息，材料并进行加工整理，形成系统材料；第七学期第13周至第17周　研读文献，完成文献综述及开题报告；第八学期第1周至第3周　撰写

8、论文提纲，完成论文初稿第八学期第15周　撰写答辩提纲，制作答辩PPT，准备论文答辩五、主要参考文献：[1]S.Thagavelu,LectureonHermiteExpansions,Prin