无穷维Hamilton算子的特征问题.pdf

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1、分类号UDC0175．3密级编号!Q12鱼=2Q墨3鱼Q12论文题目研究生：指导教师：专业名称：～研究方向：学院名称：2011年3月EigenvalueProblemofInfiniteDimensionalHamiltonianOperators·WangHuaSupervisor：ProfessorAlatancangPh．DSchoolofMathematicalSciences，InnerMongoliaUniversity,Hohhot，010021，PR．ChinaMarch，2011‘Project(10962004，1106101

2、9)supportedbyNationalNaturalScienceFoundationofChina●原创性声明本人声明：所显交的学位论文是本人住导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果．除本文已经注明引用的内容外，论文巾不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我⋯同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明拼：表示谢意．●学位论文作者签名：皇堡二_。日指导教师签名：圣雯查坌丝至／／同期：至21』：笸：l在学期间研究成果使用承诺书本学位论文作者完伞了解学校有

3、关似孵、使川学位论文的规定，即：内蒙吉人学靠权将学位论文的金部内容或部分保留并向国家有关机构、部fj送交学位论文的复印件和磁盘，允许编入有关数据库进行柃索，也丌J。以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文．为保护学院和导师的知识产权，作者在学期问取得的研究成果属于内蒙吉大学．作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研万乞成果．须征碍内蒙古大学就读期脚导师的同意；若用]：发表沦文，版权单位必须措名为内蒙占大学方rLf投稿或公开发表．学位论文作者签名：垫堡日指导黼签名：79物哆指导教师签名：!型旦竺二￡．／口期：皇!!!：!；!●无穷维Hami

4、lton算子的特征值问题摘要钟万勰院士将弹性力学和无穷维Hamilton算子相结合，提出了基于Hamilton系统的分离变量法，建立起弹性力学求解新(辛)体系，解决了许多实际问题．此方法的数学基础是无穷维Hamilton算子特征值问题的成套理论，其中特征向量组的完备性尤为重要．本文研究了无穷维Hamilton算子的特征值问题，其内容包括特征值(即点谱)的对称性，特征值的几何重数、代数重数、代数指标，特征向量与根向量的辛正交关系，以及特征向量组与根向量组的完备性．如所熟知，无穷维Hamilton算子的点谱和剩余谱的并集关于虚轴对称，但点谱本身的对称

5、性尚不明确．注意到无穷维Hamilton算子的特征向量具有辛正交性，因此其特征值的对称性在研究特征向量组的完备性方面起重要作用．鉴于此，本文首先考察了上三角无穷维Hamilton算子特征值的对称性，分别给出其点谱关于虚轴和实轴对称的充分必要条件．此外，根据无穷维Hamilton算子的谱结构，还得到了上三角无穷维Hamilton算子剩余谱的刻画．目前，无穷维Hamilton算子特征向量组的完备性研究仅限于实特征值和纯虚特征值情形，对于具有一般特征值的无穷维Hamilton算子，其特征向量组和根向量组的完备性均未提及，而且未见与无穷维Hamilton

6、算子特征值的几何重数和代数重数有关的讨论．另一方面，以往讨论的完备性主要是针对具有实特征值和纯虚特征值的无穷维Hamilton算子提出的Cauchy主值意义下的完备性，但这一定义对于具有一般特征值的无穷维Hamilton算子一般是不适用的．鉴于此，本文提出了向量组在广义Cauchy主值意义下完备的定义，为深入研究无穷维Hamilton算子特征向量组和根向量组的完备性奠定基础．在实际应用中，一个具体问题可以转化为许多等价的无穷维Hamilton形式，相应地可得到各式各样的无穷维Hamilton算子，其中上三角无穷维Hamilton算子在求解问题时具

7、有一定优势．例如，相应上三角无穷维Hamilton算子的特征方程是解耦的，可以方便地计算出特征值、特征向量和根向量．为此，本文研究了上三角无穷维Hamilton算子特征向量组和根向量组的完备性．主要从以下三个思路展开：对于2×2上三角无穷维Hamilton算子和应用力学中出现的4阶上三角无穷维Hamilton算子，采用算子理论和Fourier分析的方法研究了特征值的几何重数、代数指标、代数重数，以及相应特征向量组和根向量组在广义Cauchy主值意义下完备的充分必要条件；提出求解应用力学中出现的一类上三角矩阵微分系统(包括上三角无穷维Hamilto

8、n系统)的新方法一双辛特征展开法，这涉及次对角算子矩阵特征向量组的完备性，因此文中给出其特征向量组在Cauchy主值意义下完备的充分必要