第3讲 Hamilton算子(Hamilton Operator)_47540

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1、FieldandWaveelectromagnetics主讲：李龙Review研究场和算子之间的相互作用。也正是这种作用，我们引出三个度——梯度，散度和旋度。场与算子∇相互作用梯度，散度和旋度是场的三个重要的度，而且三维场，也只需要这三个变量。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn22.4矢量场的环量和旋度矢量场的旋量似乎就没有像通量那么通俗易懂。实际上，我们生活观察表明：还存在一类矢量场是旋转场或涡旋场。例如，龙卷风和用一根筷子搅动被中的水就是典型的旋转物。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn32.4.1环量和流反映旋转

2、场A(x,y,z)的宏观特征是环量Г，它定义为正如前面奥斯特实验所做的：电流I的周围存在磁场H。正是这个流构成了环行磁场，用数学表示为而H和I的方向构成右手螺旋法则。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn42.4.1环量和流在l上所得到的环量Г是问题的表象，环量的背后实质是穿过环线中间的流。换句话说，l线上的环量多少即表示l环内有多少（净）流。环量是这一类矢量场重要的宏观特征。但是，宏观的特征有着重要的缺陷。因为流可以分为正向（右手螺旋法则）流和负向流。举一个典型的例子：假定闭环上环量为零，我们无法判断环内究竟是无流，还是正负流相消。问题的另一关键在于——我

3、们应该研究环内每一点流的情况。这又是矢量场微观特征的再一次提出。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn52.4.2Stokes定理在多元微积分中，我们又学习过另一重要定理——Stokes定理，它表示为一般认为，Stokes定理联系闭曲线积分和面积分。实际上，这种说法仅仅是问题的表象，Stokes定理深层次地架起了矢量场宏观特征环量走向微观特征旋度的重要桥梁。观察Stokes定理，它的左边正是我们所要研究的矢量宏观特征环量Г，因此右边必定是造成环量的流。式中的流采用面积分，这意味着总的流是各点流密度的迭加（即积分）。2015/3/16lilong@mail.x

4、idian.edu.cn62.4.3旋度(Curl)【定义】矢量场A=A(x,y,z)在空间存在连续偏导数，则aˆaˆaˆxyz∂∂∂∂Az∂Ay∂Ax∂Az∂Ay∂Ax∇×A==−aˆx+−aˆy+−aˆz∂x∂y∂z∂y∂z∂z∂x∂x∂yAAAxyz上式称之为矢量场A在(x,y,z)处的旋度。旋度是Hamilton算子与场的矢量叉积作用，因此，旋度∇×A是一矢量函数。再考察nˆds，由于单位法向矢nˆ可表示为2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn72.4.3旋度(Curl)于是，Stokes定理可重新

5、写出十分清楚，旋度∇×A表示在(x,y,z)处产生的流密度。它的法向投影是对于环量产生微分贡献。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn82.4.3旋度(Curl)矢量场的环量Г与旋度CurlA∇×A⋅nˆ=0表示这一点无法向流，而∇×A恰恰表示微观流密度。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn92.4.4矢量场A与旋度场CurlA(rotA)旋度场也是一个场，并且是矢量场。换句话说，矢量场A通过算子∇×的变换，转化为另一矢量场。很容易提出一个问题：利用∇×A能否反演出原场A呢？虽然A和∇×A同样是三个信息。但是，仅已

6、知∇×A，不能给出A。这一点我们将在后面作详尽讨论。2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn10第3讲∇算子(∇-Operator)3.1矢径r3.2∇算子的两重性3.3亥姆赫兹（Helmoholtz）定理3.4正交曲面坐标系2015/3/16lilong@mail.xidian.edu.cn113.1矢径r我们早已提出r=xaˆx+yaˆy+zaˆz。其实这只是一个特殊定义。在电磁理论中，矢径反映从源到场矢量之间的相互作用。3.1.1矢径r的一般定义【定义】矢径从源点（采用打撇号）到场点（采用不打撇号）的矢量，见图3-1所示。2015/3/16lilon

7、g@mail.xidian.edu.cn123.1.1矢径r的一般定义r=R−R′R=xaˆ+yaˆ+zaˆxyzR′=x′aˆ+y′aˆ+z′aˆxxzr=(x−x′)aˆ+(y−y′)aˆ+(z−z′)aˆxyz()2(')2(')2r=x−x′+y−y+z−z（模值）广义的说，算子也要区分是对源点微分作用，还是对场点微分作用，分别有∂∂∂'∂∂∂∇=aˆx+aˆy+aˆz(场点)∇=aˆx'+aˆy'+aˆ