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《量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、波函数的统计解释在量子力学中，我们用波函数来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。波恩的统计解释：也就是说，是几率密度，它给出在t时刻粒子处于x处单位体积内的几率。由于这个性质，波函数必须满足1.是归一化的（或者说是可归一化的，积分为有限值）2.满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。）；单值性（应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时
2、刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。由波函数的统计解释，对处于态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是这个式子到底意味着什么？它明显不是意味着如果你一次又一次的重复测量这个粒子的位置，是你所得到结果的平均值。而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。.测量引起波函数的坍塌而是所有测量都是对处在态的粒子所进行
3、的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在态，然后测量每个粒子的位置,是所有结果的平均值。(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。计算平均值,它应该符合。简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。如果紧接着第一次测量进行第二次测量
4、，能测量到什么结果？粒子还是在C？还是每次都测量到一个完全的不同的新结果？事实是第一次测量完全改变了波函数，所以它现在是尖锐的在C点耸起。我们称之为由于测量产生的波函数的坍塌,在C点生成针状波形(由于波函数遵从薛定鄂方程,这个波将很快弥散开来,所以第二次测量要立即进行)。所以存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息，那么其他力学量呢？当体系随时间演化时,将发生变化
5、(因为是依赖时间的),我们可能对它运动的变化快慢感兴趣。我们计算利用分部积分公式,上式可以写为(我们利用了,并丢掉了边界项,因为在无限大处趋于零。)对第二项再进行一次分部积分,有我们拿这个结果做什么?注意我们讨论的是期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。在量子力学中速度意味着什么都不是很清楚的：如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么它也不会有一个明确定义的速度。我们只能问的是得到一个特定值的几率是多少。对我们目前的而言，我们假设速度的期待值等于位置期待值对时间的导数就足够了：这个式
6、子告诉我们如何从计算。实际中,习惯使用动量,而不是速度：让我们把和的表示式写作更有启发意义的形式：我们说在量子力学中算符“表示”位置，算符“表示”动量；计算期待值时我们把适当的算符放在和之间，然后积分。事实上，所有经典力学量都可以表示为坐标和动量的函数（当然还有非经典量，比如自旋，方法一样）。例如，动能是角动量是(当然,角动量对一维运动不存在)。要计算任何物理量的期待值,我们简单地可以用取代每一个，再把得到的算符放在和之间，然后积分。当粒子处于态时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量
7、可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出，首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。分立谱本征函数满足正交归一条件将体系的状态波函数用算苻的本征函数展开则在态中测量力学量得到结果为的几率是，在测量后波函数坍塌为。对一个系综（含有大量相同体系）每一个体系进行测量的平均值为如果力学量的本征谱为连续谱本征函数满足函数归一化同样将体系的状态波函数用算苻的本征函数展开如果对体系测量，得到结果在范围内的几率是，是几率密度。测量同样导致波函数的坍塌，坍塌
8、为处的一个尖锐波峰。对一个系综（含有大量相同体系）每一个体系进行测量力学量的平均值为这样由体系的状态波函数，我们就可以得到粒子的全部信息。二、薛定鄂方程的一般求解方法对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：其中哈密顿算苻（能量算苻）薛定鄂方程的性质与特点：1.方程是线性的，满足态叠加原理，如果和都是方程的解，那么它们的线性叠加也是方程的解。2.方程是非相对论的，时间t和坐标xyz地位
