中常数磁场和位势的薛定鄂算子的特征函数问题文献综述

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1、文献综述中常数磁场和位势的薛定鄂算子的特征函数问题一、前言部分函数空间上的算子理论一直是泛函分析的一个重要课题，作为数学的一个部分，它经历了相当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系。不同函数空间上的算子具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧性、谱性质、代数性质(如正规性、亚正规性)等几个方面。基于这点，本课题由定义中常数磁场和位势的薛定鄂算子出发，解决研究过程中该算子的特征函数问题。我们已经证明了很多类算子关于可加性的结论（见文献[1]，[2]）。在研究一些光谱展开的可加性算子中，常数磁场的Schrodinger算子从某种意

2、义上说是有区别的，它在中的形式为（1.1）这里B是实反对称矩阵。如果B非退化，则它的特征值有的形式，且。适当地选择坐标，则该算子为（1.2）算子(1.2)有相当特别的光谱性质。该光谱展开与Schrodinger算子的结合连续和离散展开的性质相关。同时常数磁场的Schrodinger算子与Heisenberg群在各向异性的分析相关。虽然Heisenberg群和不同的代数同构，它们彼此不等距，因此它们的光谱性质依赖于的选择。我们考虑Schrodinger算子的光谱展开和建立Riesz–Bochner可加性（与常规的差距在一个空间的参数p，β），两者皆

3、非退化。后者中，单维数被认可且，这里是矩阵B的秩，于是算子（1.1）有（1.3）这里是在内的拉普拉斯算子。当所有的等于1时，光谱展开的可加性的研究如特殊的Hermite展开（见文献[1],[3]）。基本上使用了与Heisenberg群和旋转不变性的联系。（以上内容参见文献[4]）Thangavelu研究了关于Hermite的展开。定义了Hermite多项式：k=0,1,2······以及Hermite函数：，k=0,1,2······并由此定义Hermite函数的一些性质。Hermite函数是Hermite算子H=，又可写成H=的特征函数,也是F

4、ourier变换的特征函数。通过定义有，得出结论：特殊的Hermite函数形成一个在内的完全正交系。又定义算子L：，说明了特殊的Hermite函数是在上的二阶椭圆形算子L的特征函数。通过简单的计算，L可以写成形式，这里N是算子，。我们有结论Hermite算子的特征函数是。并且函数也可以用拉盖尔多项式表示。在内给出一个函数f，，依据特殊的Hermite函数标准展开f：，是schwart类函数，系数因为f在里，以上级数在依范数收敛到f。同时,Thangavelu研究了Riesz平均和临界的指标，涉及到了对算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上内容

5、参见文献[1]）程其襄等在线性算子和线性泛函中，给出微分算子的定义以及微分算子的运算。(见文献[5])我们在学习波动方程的时候，给出了一维波动方程。在求解齐次一维波动方程的初边值问题时，我们通过采用分离变量法，在求解的过程中，得到两个微分方程和，并求解得到（k=1,2,……）和（k=1,2,……）。前者为满足边界条件，的特征值，后者为相应的特征函数。同样的，在学习一维热传导方程的时候，也采用同样的方法，可以将上述特征值和特征函数求解出来。同时用这种方法求解偏微分方程，在求解过程中展示了傅里叶级数的威力与作用见文献[6]）。我们的问题熟悉常数磁场和

6、位势的薛定鄂算子的定义，对比磁场（1,1）时的特征函数，给出算子的特征值和特征函数的的描述。一、主题部分二十世纪初，法国数学家Frechet用抽象的形式表达了函数空间。指出：空间中的每一点都是函数，并引入了一类空间。Hilbert在研究积分方程时，将一个函数看成是由它相应的标准正交函数系的Fourier系数确定的。1907年，德国数学家Schimidt发展了Hilbert这一思想，并将其抽象为一般的空间。他还据此导出了正交系的概念。之后Riesz进一步由积分方程导出的空间，开始对抽象算子理论进行研究，并引入了范数的概念。二十世纪20年代，Bana

7、ch用三组公理建立了完备的赋范向量空间，称之为“Banach空间”。它包括空间，连续函数空间，有界可测函数空间等。1932年发表了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理的线性算子理论。1929年和1930年vonNeumann应用公理化方法深入地研究了Hilbert空间中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之间的联系。他又把有关结论推广到无界算子，并发现了这种算子的谱理论。后来，Hormander进行了对椭圆型微分算子光谱函数和特征函数展开以及线性偏微分算子的研究（见文献[7]，[8]），NicoleBerline和Slaughterdele

8、也分别对狄拉克算子非线性单调算子进行了研究（见文献[9]，[10]）。钟怀杰通过对黎斯算子类的专门探讨，反映一般Banach空间算子理论