二项式定理及其应用开题报告

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1、开题报告二项式定理及其应用　　　　　　一、选题的背景、意义二项式定理是初等数学中的一个重要定理,其形成过程是组合知识的应用,同时也是进一步学习概率统计的准备知识,在高等数学中更是许多重要公式的共同基础。而二项式定理以及它的各种推广形式在初等数学和概率统计中都有重要的理论和应用价值。提及二项式定理就不得不说杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉

2、三角。杨辉三角在我国古代大多是用来作为开方的工具。直到现在，我们在代数学中学到的开平方的方法，仍然是从杨辉三角中得来的。可见，杨辉三角与二项式定理之间有着不同寻常的关系。文献[1]就从杨辉三角出发，对与杨辉三角有关的基本理论进行了系统的论述与证明。经过多年的发展，人们还发现杨辉三角中数学奇偶性存在着某种特殊的关系，例如文献[2]作者就以杨辉三角的行和列为单位，对杨辉三角中的素数和同余式进行了研究。而在西方，1665年，刚好22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。虽然当时无法给出二项式定理的证明，但可以肯定二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、

3、方程理论的有力工具。随着社会的发展，二项式定理被人们最为广泛的应用于组合原理当中。组合原理又称组合数学或组合论。它所研究的中心问题是根据一定的规则来安排某些事物的有关数学问题，但组合原理中的许多问题都是数学中的精华。组合原理的应用也涉及到自然科学和社会科学的许多领域。例如，它在计算机科学、编码理论、通信网络、电子工程、实验设计、交通运输、社会经济学、管理科学等领域中都有着广泛的使用价值，特别是在计算机科学中有着重要的应用。这不仅因为它是这门学科的重要基础，更为主要的原因是计算机科学的核心是算法的研究，而组合算法是算法的重要组成部分。由此可见，对二项式定理的进一步研究和推广，拥有它无

4、可替代的现实意义。而近些年的研究主要集中在二项式定理的系数恒等式上，如文献[3]5中，作者在著名数学家陈景润研究结果的基础上，对自然数幂方和二项系数表示的系数公式作了进一步的推广，利用行列式和二项系数的性质，得到了自然数幂方和由二项系数表示的系数公式和由排列数表示的系数公式。文献[4]利用了几个微分型算子，找出其对应的正则基序列，然后研讨多项式型、二项式定理型的组合恒等式组，得到一批新结果。它推广了二项式定理。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1、本文研究的基本内容:（一）总结并归纳二项式定理的各种证明方法，以及对其相关系数恒等式的证明。二项式定理：当是一个正整数时，对任何和，有

5、（1）式（1）右边的式子称为的二项式展开式，系数常称为二项式系数。为了方便，我们把的展开式的第项记为，则有，这个式子叫做二项式的通项公式。文献[1]中给出了数学归纳法来证明此定理，而文献[5]则利用了初等数学中构造递推方程的方法，给出了二项式定理的新证法。恒等式的组合证明赋予了恒等式一定的组合意义，组合证明最常用的方法是分别用两种不同的方法对恒等式的两端进行计算。在文献[6]和[7]中，作者主要讨论了利用分析学，子空间集合和格路模型方法来证明组合恒等式。笔者研究的内容即把文献中所给出的证明方法，进行统一的归纳和整理。（二）整理并归纳二项式定理的各种推广形式。从二项定理到多项式定理的

6、推广。多项式定理：设n和k为正整数，则有，其中并称其为多项式系数。最主要的推广集中在系数恒等式上。例如，文献[8]5就讨论了二项式型多项式的性质和与Bell多项式的关系及其应用，给出了一个二项式型多项式的递推公式，推广了现有文献的结果，得到了一些组会恒等式。为日后的组合序列的研究起到了积极的作用。（三）总结二项式定理的应用。在初等数学当中，对二项式定理的运用，主要涉及二项式定理的直接应用、二项式定理的通项的应用和二项式系数的性质的应用三个方面。例如文献[9][10]中所罗列的问题：今天是星期一，再过天是星期几？求的近似值等等。这些问题在日常的生活和学习中有比较现实的意义，也因此使得

7、二项式定理在初等数学当中被广泛运用。二项式定理是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数字分支中都可见其踪影。引入微分算子后，微积分的牛顿----莱布尼兹公式可以用二项式定理来表述等。二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法预测的结果。在求复数方幂的过程中，如果直接用二项式定理计算，则会使计算量增大且容易出错，因此才出现了复数计算的狄莫弗定理，对于二次根式和初等超越数方幂的计算，同样也会面临此尴尬，所以需要另辟蹊径。