商高定理及其应用开题报告

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开题报告商高定理及其应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）（一）历史背景：商高定理：商高定理是个历史悠久的著名定理，我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作。《周髀算经》是我国古代流传下来的一部重要的数学著作，该书原名《周髀》，大约成书于公元2世纪。它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、商高定理（勾股定理）及其在天文学测量的应用。该书卷首记述了一段精彩的对话：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”由于此定理是商高发现的，所以称为“商高定理”。基于上述渊源，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。这是中国最早关于勾股定理书面记载。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。由此可见，我国在商高定理的研究上有悠久的历史和杰出的贡献。[1]西方勾股定理又称毕达哥拉斯定理。在西方的文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名。据说毕达哥拉斯发现这个定理后斩了百头牛庆祝，因此又称“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据。希腊另一位数学家欧几里德(Euclid,公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。[2] 费马大定理：公元1637年，费尔马在研究丢番图的《算术》一书时，想到了毕达哥拉斯问题的推广。费尔马在《算术》一书的空白处写到:“不可能将一个高于2次的幂写成两个同样幂次的和”。即当整数时，无正整数解。同时，还写下批注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，很可惜这里空白太小写不下了！”费尔马没有想到，他随手写下这句话，竟成了几个世纪以来，一代又一代无数的世界级的优秀数学家，经过艰难曲折的奋斗，都未能证明这有名的费尔马大定理。[5]（二）现状和发展方向：如今，当我们谈到商高定理时，更多的是它在不定方程中的特殊地位。即商高不定方程方程的求解。对于商高方程的解，所研究的是非显然解中的本原解，即满足以下条件的解：。在这方面的研究成果已有很多，形式也是多样。从古代的毕达哥拉斯、柏拉图到当代我国的柯召、孙琦都各自不同的研究方法和结论。不仅如此，还引发各类不同的猜想。如：Teriai猜想、Tesmanowicz猜想、werner猜想等等。有些问题至今仍未解决。由此可见，商高不定方程的后续研究都是建立在对商高方程解的深刻研究的基础之上。其中，最著名的要数是商高定理的一个推广：费马大定理。300百多年来已证实它是向人类智慧挑战的一个数学难题。有人曾悲观地说:“在我们这个星球上的人的智慧，还没有达到那样高的水平，能解决费尔马大定理”。费马大定理的证明经历了风风雨雨：1753年，大数学家欧拉作出了突出贡献，他证明时，费尔马大定理成立，实际上他证明了时，费尔马大定理成立。1825年，解析几何的创始人、大数学家高斯证明了时，费尔马大定理成立。1837年，大数学家柯西、库默尔与女数学家热尔曼同时证明了时，费尔马大定理成立。1847年德国数学家土尔曼，引进了理想概念，证明了当时，费马大定理成立。土尔曼虽未彻底解决费尔马大定理，但他为近世代数的产生奠定了基础。就在这段时期，德国科学院，为解决这一世界难题，悬尝10万马克，结果无人问津。在本世纪50年代，日本人谷山与志村提出了一个关于椭园曲线与模形式的猜想，随后，费赖与贝里特证明了：“如果费尔马大定理不成立，则谷山一志村猜想就错了”。这个结果给费尔马大定理的最终解决。展示出一线曙光。直到1993年英国数学家维尔斯沿着谷山一志村的猜想的方向，花了八年时间，在综合了近代数学的重大成就的基础上，天才地证明费尔马大定理。如今我们看到完整的费马大定理的证明。不仅如此，更多的证明方法不断涌出，为费马大定理又添加了不少魅力。[16] 而现在，人们则利用前人的研究成果进一步进行开拓，以用来探索那些历史遗留下来的尚未解决的数论难题，并对更高次更高元的不定方程的求解方法不断的尝试，得出一些著名的结论。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题数学思维的特点之一就是寻找各种关系，并由此去探索扩充某种思想的途径，这些都要建立在归纳、总结的基础上。所以，我们试着在一元不定方程的基础上探索商高不定方程的解的之间的关系，并进行归纳总结，进一步深入的研究，使其得到更加广泛的应用。商高方程的定义：二次不定方程（2）它通常称为商高方程或Pythagoras方程。满足的解称为显然解，的解称为非显然解。在引入定义出不定方程的本原解后，我们在总结出一元及商高不定方程的解之间的关系如下：定理1：不定方程（1）有解的充要条件是。进而，不定方程（1）有解时，它的解和不定方程的解相同，这里g=。定理3：不定方程（2）的本原解x，y，z必满足条件：定理4：不定方程（2）的y为偶数全体本原解满足以下公式：其中r，s为满足一下条件的任意整数：定理5：不定方程 无的解。定理6：不定方程无的解。[8]最后探讨这些定理的证明方法，研究这些方法的在其他类似不定方程中的套用。并举例说明这些定理在具体数学问题上的应用，一边快速准确的解答这些问题。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标研究的方法主要有类比法、归纳法、举例法、Fermat无穷递降法。技术路线：通过图书馆以及因特网查找相关领域的最新理论、收集资料，对商高不定方程在数学发展中的重要作用有较全面、综合的认识，通过老师的指导，同学之间的交流和沟通，收集整理文献，反复讨论研究问题，界定相关概念，阐述理论基础，实施研究方法，得出研究结论，总结研究启示。四、论文详细工作进度和安排1.在导师的指导下收集资料，完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料。（09～10学年第一学期第8周至第9周）2.完成文献综述。（09～10学年第一学期第10周至第11周）3.完成开题报告。（09～10学年第一学期第12周至第13周）4.研读外文文献，完成外文翻译。（09～10学年第一学期第14周至第15周）5.进一步完善论文的资料、数据收集，精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲。（09～10学年第二学期第1周至第2周）6.开展论文初稿撰写工作。（09～10学年第二学期第3周至第8周）7.在导师的指导下对论文进行反复修改。（09～10学年第二学期第9周至第10周）8.对论文进行完善，最后定稿。 （09～10学年第二学期第11周至第12周）五、主要参考文献[1]胡春燕.从东西方文化看勾股定理的起源[J].教学与管理.2007,09:91-92.[2]刘春祥.发现勾股定理[J].数学大众（中学版）.2002,07:39.[3]朱家生.数学史[M].高等教育出版社.1994,07.[4]王国炳.商高不定方程的解与勾股数[J].宜宾学院学院报.1997,02:18-20.[5]潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京大学出版社.1992.[6]李培业.商高定理的古证冥求[J].高等数学研究.2006,01:58-63[7][美]史迪威.ELEMENTSOFNUMBERTHEORY[M].世界图书出版公司.2009.[8]沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的数论问题[M].湖南师范大学出版社.2009.[9]汪克立.商高数组群[J].成都教育学院学报.2003,12:73-74.[10][美]罗森.ELEMENTSOFNUMBERTHEORYANDITSAPPLICATIONS[M].世界图书出版公司.2009.[11]唐周子.商高数猜想的完全证明[J].中国科技信息.2009,12:31-36.[12]杨丽英.由商高不定方程看整边直角三角形[J].安庆师范学院学报.2008,02:113-115[13]宋永林.四元数集上的商高方程[J].咸宁师专学报.2001,03:18-21.[14]乐茂华.关于本原商高数的Terai猜想[J].北华大大学报.2005,02:108-109.[15]李树新.关于丢番图方程[J].广西民族学院学报.2006,02:2-9.[16]晏能中.向人类智慧挑战的一个数学问题——费马定理的风风雨雨[J].达县师范高等专科学校学报.2000,02:28-29[17]李宏棋.费马大定理的初等证明[J].西安工程大学学报.2008,05:650-662[18]徐俊杰..数学难题探索[M][J].西北工业大学出版社.2007.: