竞赛04 二项式定理及其应用

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1、二项式定理及其应用班级姓名一、知识点一：二项式定理．注：1．二项展开式的通项：，它是展开式的第项；2．二项式系数：．例1．求的展开式中的常数项．解：由二项式定理得：；①其中第项为：；②在的展开式中，设第项为常数项，记为；则③由③得：即，为偶数，再根据①、②知所求常数项为．【注】求某一项时用二项展开式的通项．例2．求的展开式里的系数．解：因为所以的展开式里的系数为：．【注】本题也可将化为用例1的作法可求得．8练习1．求展开式中的常数项．解：先求的展开式中的通项：，5，6；再求的展开式中的通项：；两通项相乘得：

2、；令，得，因此，（r，k）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求；故常数项为：．2．已知的展开式中没有常数项，，且，求的值．解：根据题意：的通项为：；对，且中，经验证可知：只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项．3．求的展开式中整理后的常数项．解：因为，所以常数项为正中间的项：．4．问的展开式中，含的正整数次幂共有多少项？解：；要求原式展开式中含的正整数次幂的项数，即求使的指数为正整数的的个数，而当0，6，12时，的指数为正整数，即有共3项．8二、知识点二：二项式系数的性

3、质1．；2．；3．若是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大；若是奇数，有，即中间两项的二项式系数且最大；4．；5．．例3．求的展开式中项的系数．解：系数为：．例4．求展开式中的：（1）最大的二项式系数；（2）最大系数；（3）最小系数．解：的通项为：；共有21个系数；（1）当时，二项式系数最大，为；（2）当时，二项式系数最大，且为正，所以系数也是最大，为；（3）当或时，系数是负数，且最靠近正中项，所以系数最小，为或．例5．已知二项式，（）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是101；（1）求展开式中各项的

4、系数和；（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项．解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是101；∴，解得；令得到展开式中各项的系数和为．（2）展开式中第项，第项，第项的系数绝对值分别为，，；若第项的系数绝对值最大，则必须满足：且；解得：；8所以系数最大的项为，二项式系数最大的项为．例6．求展开式中含项的系数．解：利用因式分解化成两个二项式，是特殊方法；即；由于，，，，；按5类求和可得：的系数为：．练习：5．求：展开式中项的系数．解：项的系数为：．6．在的展开式中，求含的项的系数．解：本题可通

5、过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成；故含的项的系数为．7．求的展开式的常数项．解：第一个因式取，第二个因式取，得：，第一个因式取2，第二个因式取，得：，故展开式的常数项是：．8．若将函数表示为，其中，，，…，为实数，求的值．解：法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：，8两边连续对求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．三、知识点三：二项式定理的一些应用（一）二项式定理的正用与逆用例7．设常数，展开式中的系数为，求的值．解：∵，∴由；又由，故的值为．例8．若多项式：，

6、求的值．解：左边，令，得．事实上，此时，．（二）求展开式中的指定项或特定项例9．若的展开式中含有常数项，求的最小值．解：通项：；由常数项可得：，故的最小值为5．例10．若的展开式中，奇数项的系数和为512，求其第8项．解：由，知：；故．（三）与二项式系数有关的问题例11．设，求下列各式的值：（原讲义后少一个）①；②；8③；④．解：①令，得：；②令，得：；③令与，两式相减得：；④先因式分解，两式恰好是与的式子；故原式．（四）二项展开式中最大值问题例12．求的展开式中数值最大的项．解：设第项是展开式中数值最大的

7、项，则有且；即有：且；∴；∴展开式中数值最大的项是：．例13．求的展开式中系数最大的项．解：设第项的系数最大，则有：解得：；∴当时，即为所求的系数最大的项．（五）近似计算8例14．求的近似值，使结果精确到．解：∵，其中第4、5项以后已不必取了；∴．（注：此项近似计算，可生成“不等式”）例15．某地现有耕地10000，规划10年后，粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到）（注：，）解：设耕地平均每年至多只能减少，又设该地区的现在人口为，

8、粮食单产为；根据题意可得不等式：；化简：∴；答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少．（六）证明不等式、恒等式、整除性问题例16．求证：．证明：；故原不等式成立．例17．求证：．证明：左边恰是：的展开式．例18．①求证：能被31整除；②求除以9的余数．8解：①，得证；②，展开，易知余数为即7．8