三角恒等变换、正余弦定理及应用5—7讲

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1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切【2013年高考会这样考】1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．2．利用三角公式考查角的变换、角的范围．【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝

2、cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tan

3、β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论

4、中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是()．A．2cos2－1B．1－2sin275°C.D．sin15°cos15°解析2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos150°＝－；＝tan45°＝1；sin

5、15°cos15°＝sin30°＝.答案D2．(2011·福建)若tanα＝3，则的值等于()．A．2B．3C．4D．6解析＝＝2tana＝2×3＝6，故选D.答案D3．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于()．A．－B．－C.D.解析cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.答案B4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin2θ＝()．A．－B．－C.D.解析sin2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.答案A5．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝

6、________.解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°·tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.答案考向一三角函数式的化简【例1】►化简.[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．解原式＝＝＝＝cos2x.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)

7、三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：.解原式＝＝＝＝＝tan.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．[审题视点]拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．解∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或

8、差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】已知α，β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．解∵α，β∈，∴－＜α－β＜，又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.cos(α－β)