三角恒等变换及应用

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1、三角恒等变换及应用【学习目标】1.利用三角恒等变换求值或化简；2.利用三角恒等变换综合应用.【自主先学】1、已知sin(a+”)=彳，sin(a—/?)=—■I，则詈寺的值为2、TT]设sinq+&)=〒，则sin20=3、_sina+cosa1右Six—cos广刁则血2心4、卄cos2a~29则cosa+sina=5、函数./W=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【质疑拓展】：軀哩1三角超赦式的朮值域化荷r77"cTC【例1】•求证：sina+cosacos(—+cr)-sin(——a)的

2、值是与a无关的定值.36(2)己知6sin2a+sin«cos«—2cos2a=0»弓:),求sin(2a+

3、)的值.解(2)由已知，得(3sina+2cos«)(2sina—cosa)=03sina+2cosa=0或2sina—cosa由已知条件,知cosaHO,.・.aH号,即炸(弓•2兀丿于是tana<0,/•tana=—亍sin2acosj+cos2asin^=sinacosa+^(cos2«—sin2a)sinacosacos2a+sin2«2•2cosct—sinatanacos

4、^a+sirTa1+tan^a21—tarTal+tan2a*2将tang=—亍代入上式,得+613【变式训练】若2sinS+sin~0—2sina=0,贝9cos^a+cos~0的取值范圉是•[1,21龜型2三角形屮的悝著变换【例2]►(1)A?1BC中，tanA+tanB=^(tanAtanB-1),求角C的大小.53]6(2)在△ABCUP，已知cosA=—,sinB二一，求cosC的值.13565ft?(2)Vtan/4+tanB=*/3(tanAtanB—1),tan(A+B)(l—ta

5、nAtanB)=y/5(tanAtanB_l),显然tanAtanB—1H0,否则tan/l+tanB=0,得矛盾结论..•・tan(A+B)=—*/3,即tan(兀一C)=—・・・tanC=G又Ovg,・・・C予「c【变式训练】已知△ABC中，也sin〒+cos㊁=迈.(1)求角C的大小；(2)若d,b,e成等比数列，求sinA的值.CC整理得cos所以cosC_^22~2(舍去cos»),Cjr因为在△ABC中，0

6、G,b,c成等比数列,所以b2=ac.由(1)知，ZBC是以角C为直角的直角三角形，所以c2=cr+b2,将b2=ac代入,整理得cr+ac-c2=0,上式两边同除以得£+》一1=0,因为sinA=*,所以sin2/l+sin4—1=0.c又OvAv号，解得sinA=^2'(舍去sinA=—)・龜哩3三角变换的简单浚用【例3]►在厶ABC中，向量加=(2sinB,2—cos2B),死=(2si『(¥+£),—Q,且加丄〃.(1)求角B的大小；(2)求sinA+cosC的取值范围.解(1)因为加丄死，

7、所以/n.W=2sinB2sin普+#)—2+cos2B=(),即2sinB・1—cos2（^+多）一2+cos2B=0,所以sin3=*,又00）的最小正周期为兀.兀7C“

8、1—cos2cox解（iyw=—5—02+羽sincox-coscox=^~sin2ex-*cos20,・/W=sin+2*亠..兀兀（2）・xe—2，•互一•-1••2^—兀,•.3—1.・・・2丫一和[一申，討，・••当2%_彳=号，即x=

9、时，.心）叶x=

10、・迈时,Z（^-）min=2-^2'即7U）的值域为»I•【反思小结】：1.根据式子的结构特点，恰当的选取方法，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运

11、用，要注意“1”的各种变通.2.有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幕等转化方法.3.易错点：三角函数求值问题忽视角的范围，在三角函数求值问题中，要结合题意正确确定题中角的范围，题中的函数值隐含了其中角的范围，范围的确定以三角函数值不产生增解为标准.【检测反馈】:2、sina={cos0=§,其中a,则a+p=7121、函数./（兀）=sin（2兀一为一2承sinL的最小正周期是•兀己知锐角a满足cos2«=cos则sin2a=3、4、已知函数